T4: Funciones · Análisis de funciones polinómicas — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andaluc%2525252525252525252525C3%2525252525252525252525ADa 2022

Análisis de funciones polinómicas

Problema

2022 · Ordinaria · Suplente

BLOQUE B

Una empresa de fumigación sabe que los beneficios, en miles de euros, que obtiene en función de las hectáreas que le encargan fumigar mensualmente viene dada por la expresión

B(x) = -x^2 + 16x - 48

Además, por problemas de personal, la empresa no puede fumigar más de $10$ hectáreas al mes.

a) ¿Cuántas hectáreas tiene que fumigar al mes para que la empresa tenga beneficios?b) ¿Cuántas hectáreas tiene que fumigar para obtener el máximo beneficio mensual? ¿A cuánto asciende dicho beneficio?c) Si un mes ha obtenido un beneficio de

7000\text{\,\text{euros}}

, ¿cuántas hectáreas ha fumigado?

FuncionesOptimizaciónBeneficios

La expresión de los beneficios en miles de euros es $B(x) = -x^2 + 16x - 48$ , donde $x$ son las hectáreas fumigadas. La empresa no puede fumigar más de $10$ hectáreas al mes, por lo que el dominio relevante para $x$ es $[0, 10]$ .

a) ¿Cuántas hectáreas tiene que fumigar al mes para que la empresa tenga beneficios?

Para que la empresa tenga beneficios, el beneficio $B(x)$ debe ser mayor que cero. Es decir, $B(x) > 0$ .

-x^2 + 16x - 48 > 0

Primero, encontramos las raíces de la ecuación cuadrática $B(x) = 0$ .

-x^2 + 16x - 48 = 0

Usamos la fórmula general para las raíces:

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

x = \frac{-16 \pm \sqrt{16^2 - 4(-1)(-48)}}{2(-1)}

x = \frac{-16 \pm \sqrt{256 - 192}}{-2}

x = \frac{-16 \pm \sqrt{64}}{-2}

x = \frac{-16 \pm 8}{-2}

Las dos raíces son:

x_1 = \frac{-16 + 8}{-2} = \frac{-8}{-2} = 4

x_2 = \frac{-16 - 8}{-2} = \frac{-24}{-2} = 12

Dado que el coeficiente principal de la parábola ( $a = -1$ ) es negativo, la parábola se abre hacia abajo. Esto significa que $B(x) > 0$ para valores de $x$ entre las raíces. Es decir, $4 < x < 12$ . Sin embargo, la empresa no puede fumigar más de $10$ hectáreas, por lo que el dominio de $x$ es $[0, 10]$ . Intersecando ambos intervalos, la empresa tendrá beneficios cuando $4 < x \le 10$ hectáreas.

b) ¿Cuántas hectáreas tiene que fumigar para obtener el máximo beneficio mensual? ¿A cuánto asciende dicho beneficio?

La función de beneficio $B(x) = -x^2 + 16x - 48$ es una parábola que se abre hacia abajo, por lo que su máximo se encuentra en el vértice. La coordenada $x$ del vértice se calcula con la fórmula $x_v = \frac{-b}{2a}$ .

x_v = \frac{-16}{2(-1)} = \frac{-16}{-2} = 8

El valor $x=8$ está dentro del dominio permitido $[0, 10]$ . Por lo tanto, el máximo beneficio se obtiene fumigando $8$ hectáreas al mes. Para calcular el beneficio máximo, sustituimos $x=8$ en la función $B(x)$ .

B(8) = -(8)^2 + 16(8) - 48

B(8) = -64 + 128 - 48

B(8) = 16

El beneficio máximo asciende a $16$ miles de euros, es decir, $16000\text{\,\text{euros}}$ .

c) Si un mes ha obtenido un beneficio de

7000\text{\,\text{euros}}

, ¿cuántas hectáreas ha fumigado?

Si el beneficio ha sido de $7000\text{\,\text{euros}}$ , entonces $B(x) = 7$ (recuerda que $B(x)$ está en miles de euros). Igualamos la expresión del beneficio a $7$ y resolvemos la ecuación.

-x^2 + 16x - 48 = 7

-x^2 + 16x - 48 - 7 = 0

-x^2 + 16x - 55 = 0

Multiplicamos por $-1$ para simplificar:

x^2 - 16x + 55 = 0

Usamos de nuevo la fórmula general para las raíces:

x = \frac{-(-16) \pm \sqrt{(-16)^2 - 4(1)(55)}}{2(1)}

x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 220}}{2}

x = \frac{16 \pm \sqrt{36}}{2}

x = \frac{16 \pm 6}{2}

Las dos posibles soluciones para $x$ son:

x_1 = \frac{16 + 6}{2} = \frac{22}{2} = 11

x_2 = \frac{16 - 6}{2} = \frac{10}{2} = 5

Considerando la restricción de que la empresa no puede fumigar más de $10$ hectáreas al mes ( $x \le 10$ ), la solución $x_1 = 11$ no es válida. Por lo tanto, si la empresa ha obtenido un beneficio de $7000\text{\,\text{euros}}$ , ha fumigado $5$ hectáreas.