T6: Teoría de muestras · Intervalos de confianza para la proporción — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andaluc%2525252525252525252525C3%2525252525252525252525ADa 2020

Intervalos de confianza para la proporción

Problema

2020 · Extraordinaria · Reserva

BLOQUE D

Tomada al azar una muestra de $600$ alumnos de una universidad española, se encontró que $2/3$ de los mismos podían expresarse en inglés con fluidez.

a) Calcule un intervalo de confianza al

98 \ \%

para estimar la proporción de alumnos de esa universidad que pueden expresarse en inglés con fluidez. ¿Se podría admitir a ese nivel de confianza que la proporción de alumnos de esa universidad que pueden expresarse en inglés con fluidez es

13/20

?b) Teniendo en cuenta el intervalo anterior, ¿qué error máximo se cometería en dicha estimación?c) Si se mantienen la misma proporción muestral y la misma confianza, ¿cuántos alumnos como mínimo habría de tener una muestra para que el error de estimación sea inferior al

2 \ \%

Intervalo de confianzaProporción muestralError de estimación+1

Datos iniciales:

n = 600

\hat{p} = \frac{2}{3} \approx 0.6667

\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \approx 0.3333

a) Calcule un intervalo de confianza al

98 \ \%

13/20

Para un nivel de confianza del $98 \ \%$ , el valor de $\alpha$ es $1 - 0.98 = 0.02$ . Por lo tanto, $\alpha/2 = 0.01$ .Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z < z_{\alpha/2}) = 1 - \alpha/2 = 1 - 0.01 = 0.99$ . De las tablas de la distribución normal estándar, obtenemos:

z_{\alpha/2} = z_{0.01} \approx 2.326

El intervalo de confianza para la proporción se calcula con la fórmula:

\text{IC} = \hat{p} \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}}

Calculamos el error máximo (margen de error):

E = z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}} = 2.326 \sqrt{\frac{(2/3)(1/3)}{600}} = 2.326 \sqrt{\frac{2/9}{600}} = 2.326 \sqrt{\frac{2}{5400}}

E = 2.326 \sqrt{\frac{1}{2700}} = 2.326 \cdot 0.019245 \approx 0.04475

Ahora, construimos el intervalo de confianza:

\text{IC} = \frac{2}{3} \pm 0.04475 \approx 0.6667 \pm 0.04475

\text{IC} = (0.6667 - 0.04475, 0.6667 + 0.04475) = (0.62195, 0.71145)

Redondeando a cuatro decimales:

\text{IC} = (0.6220, 0.7115)

Para la segunda parte de la pregunta, comprobamos si la proporción de $13/20$ se encuentra dentro del intervalo de confianza. Convertimos la fracción a decimal:

\frac{13}{20} = 0.65

Dado que $0.6220 < 0.65 < 0.7115$ , podemos admitir a este nivel de confianza que la proporción de alumnos que pueden expresarse en inglés con fluidez es $13/20$ .

b) Teniendo en cuenta el intervalo anterior, ¿qué error máximo se cometería en dicha estimación?

El error máximo de estimación es el valor que hemos calculado en el apartado anterior, correspondiente al margen de error ( $E$ ).

E \approx 0.04475

Expresado en porcentaje, el error máximo es aproximadamente del $4.48 \ \%$ .

c) Si se mantienen la misma proporción muestral y la misma confianza, ¿cuántos alumnos como mínimo habría de tener una muestra para que el error de estimación sea inferior al

2 \ \%

Queremos que el error de estimación $E$ sea inferior al $2 \ \%$ , es decir, $E < 0.02$ . La fórmula para el tamaño muestral $n$ es:

n = \left( \frac{z_{\alpha/2}}{E} \right)^2 \hat{p}\hat{q}

Sustituyendo los valores:

n = \left( \frac{2.326}{0.02} \right)^2 \left( \frac{2}{3} \right) \left( \frac{1}{3} \right)

n = (116.3)^2 \cdot \frac{2}{9}

n = 13525.69 \cdot \frac{2}{9}

n = 3005.7088...

Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y se necesita que el error sea inferior al $2 \ \%$ , debemos redondear al alza. Por lo tanto, el número mínimo de alumnos que debería tener la muestra es:

n = 3006