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T1: Interacción gravitatoria
Campo y potencial gravitatorio
Problema
2021 · Ordinaria · Titular
A2-b
Examen
b) Dos masas m1=10 kgm_{1} = 10 \text{ kg} y m2=10 kgm_{2} = 10 \text{ kg} se encuentran situadas en los puntos A(0,0) mA(0,0) \text{ m} y B(0,2) mB(0,2) \text{ m}, respectivamente.i) Dibuje el campo gravitatorio debido a las dos masas en el punto C(1,1) mC(1,1) \text{ m} y determine su valor.ii) Calcule el trabajo que realiza la fuerza gravitatoria cuando una tercera masa m3=1 kgm_{3} = 1 \text{ kg} se desplaza desde el punto D(1,0) mD(1,0) \text{ m} hasta el punto C(1,1) mC(1,1) \text{ m}.

Dato: G=6,67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^{2} \cdot \text{kg}^{-2}

Campo gravitatorioTrabajoMasas puntuales
b) i) Dibuje el campo gravitatorio debido a las dos masas en el punto C(1,1) mC(1,1) \text{ m} y determine su valor.

Las coordenadas de las masas y el punto de interés son:

m1=10 kgen A(0,0) mm_1 = 10 \text{ kg} \quad \text{en } A(0,0) \text{ m} \\
m2=10 kgen B(0,2) mm_2 = 10 \text{ kg} \quad \text{en } B(0,2) \text{ m} \\
C(1,1) mC(1,1) \text{ m}

El campo gravitatorio g⃗\vec{g} en un punto debido a una masa mm se define como la fuerza gravitatoria por unidad de masa, y su dirección es hacia la masa. Se calcula mediante la expresión vectorial:

g⃗=−Gmr3r⃗\vec{g} = -G \frac{m}{r^3} \vec{r}

donde r⃗\vec{r} es el vector posición desde la masa al punto donde se calcula el campo. En nuestro caso, r⃗AC=r⃗C−r⃗A\vec{r}_{AC} = \vec{r}_C - \vec{r}_A y r⃗BC=r⃗C−r⃗B\vec{r}_{BC} = \vec{r}_C - \vec{r}_B.Cálculo del campo g⃗1\vec{g}_1 debido a m1m_1 en C(1,1)C(1,1):

r⃗AC=(1−0,1−0)=(1,1) m\vec{r}_{AC} = (1-0, 1-0) = (1,1) \text{ m} \\
rAC=∣r⃗AC∣=12+12=2 mr_{AC} = |\vec{r}_{AC}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \text{ m} \\
g⃗1=−Gm1rAC3r⃗AC=−(6,67⋅10−11)10(2)3(1,1)=−(6,67⋅10−11)1022(1,1)\vec{g}_1 = -G \frac{m_1}{r_{AC}^3} \vec{r}_{AC} = - (6,67 \cdot 10^{-11}) \frac{10}{(\sqrt{2})^3} (1,1) = - (6,67 \cdot 10^{-11}) \frac{10}{2\sqrt{2}} (1,1) \\
g⃗1=−5⋅6,67⋅10−112(1,1)≈−4,716⋅10−10(1,1) N/kg\vec{g}_1 = - \frac{5 \cdot 6,67 \cdot 10^{-11}}{\sqrt{2}} (1,1) \approx -4,716 \cdot 10^{-10} (1,1) \text{ N/kg} \\
g⃗1=(−3,335⋅10−10i^−3,335⋅10−10j^) N/kg\vec{g}_1 = (-3,335 \cdot 10^{-10} \hat{i} - 3,335 \cdot 10^{-10} \hat{j}) \text{ N/kg}

Cálculo del campo g⃗2\vec{g}_2 debido a m2m_2 en C(1,1)C(1,1):

r⃗BC=(1−0,1−2)=(1,−1) m\vec{r}_{BC} = (1-0, 1-2) = (1,-1) \text{ m} \\
rBC=∣r⃗BC∣=12+(−1)2=2 mr_{BC} = |\vec{r}_{BC}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} \text{ m} \\
g⃗2=−Gm2rBC3r⃗BC=−(6,67⋅10−11)10(2)3(1,−1)=−(6,67⋅10−11)1022(1,−1)\vec{g}_2 = -G \frac{m_2}{r_{BC}^3} \vec{r}_{BC} = - (6,67 \cdot 10^{-11}) \frac{10}{(\sqrt{2})^3} (1,-1) = - (6,67 \cdot 10^{-11}) \frac{10}{2\sqrt{2}} (1,-1) \\
g⃗2=−5⋅6,67⋅10−112(1,−1)≈−4,716⋅10−10(1,−1) N/kg\vec{g}_2 = - \frac{5 \cdot 6,67 \cdot 10^{-11}}{\sqrt{2}} (1,-1) \approx -4,716 \cdot 10^{-10} (1,-1) \text{ N/kg} \\
g⃗2=(−3,335⋅10−10i^+3,335⋅10−10j^) N/kg\vec{g}_2 = (-3,335 \cdot 10^{-10} \hat{i} + 3,335 \cdot 10^{-10} \hat{j}) \text{ N/kg}

El campo gravitatorio total en C es la suma vectorial de los campos individuales:

g⃗C=g⃗1+g⃗2=(−3,335⋅10−10−3,335⋅10−10)i^+(−3,335⋅10−10+3,335⋅10−10)j^\vec{g}_C = \vec{g}_1 + \vec{g}_2 = (-3,335 \cdot 10^{-10} - 3,335 \cdot 10^{-10}) \hat{i} + (-3,335 \cdot 10^{-10} + 3,335 \cdot 10^{-10}) \hat{j} \\
g⃗C=(−6,670⋅10−10i^+0j^) N/kg\vec{g}_C = (-6,670 \cdot 10^{-10} \hat{i} + 0 \hat{j}) \text{ N/kg}

Valor del campo gravitatorio en C:

∣g⃗C∣=6,670⋅10−10 N/kg|\vec{g}_C| = 6,670 \cdot 10^{-10} \text{ N/kg}

El diagrama muestra las masas m1m_1 y m2m_2, el punto CC, y los vectores de campo gravitatorio g⃗1\vec{g}_1, g⃗2\vec{g}_2 y el campo resultante g⃗C\vec{g}_C.

XYmm_1mm_2Cg1g2g_neta
b) ii) Calcule el trabajo que realiza la fuerza gravitatoria cuando una tercera masa m3=1 kgm_{3} = 1 \text{ kg} se desplaza desde el punto D(1,0) mD(1,0) \text{ m} hasta el punto C(1,1) mC(1,1) \text{ m}.

El trabajo realizado por la fuerza gravitatoria al mover una masa m3m_3 de un punto D a un punto C es independiente de la trayectoria y se calcula como la variación negativa de la energía potencial gravitatoria:

WDC=−ΔEp=Ep(D)−Ep(C)W_{DC} = - \Delta E_p = E_p(D) - E_p(C)

La energía potencial gravitatoria de una masa m3m_3 en un punto debido a un sistema de masas mim_i es la suma de las energías potenciales debidas a cada masa:

Ep=−G∑imim3riE_p = -G \sum_{i} \frac{m_i m_3}{r_i}

Cálculo de las distancias para el punto D(1,0)D(1,0):

r1D=∣(1,0)−(0,0)∣=∣(1,0)∣=1 mr_{1D} = |(1,0) - (0,0)| = |(1,0)| = 1 \text{ m} \\
r2D=∣(1,0)−(0,2)∣=∣(1,−2)∣=12+(−2)2=5 mr_{2D} = |(1,0) - (0,2)| = |(1,-2)| = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{5} \text{ m}

Energía potencial en D(1,0)D(1,0):

Ep(D)=−Gm3(m1r1D+m2r2D)E_p(D) = -G m_3 \left( \frac{m_1}{r_{1D}} + \frac{m_2}{r_{2D}} \right) \\
Ep(D)=−(6,67⋅10−11)(1)(101+105)E_p(D) = - (6,67 \cdot 10^{-11}) (1) \left( \frac{10}{1} + \frac{10}{\sqrt{5}} \right) \\
Ep(D)=−6,67⋅10−11(10+4,472)=−6,67⋅10−11(14,472)E_p(D) = - 6,67 \cdot 10^{-11} (10 + 4,472) = - 6,67 \cdot 10^{-11} (14,472) \\
Ep(D)=−9,652⋅10−10 JE_p(D) = -9,652 \cdot 10^{-10} \text{ J}

Cálculo de las distancias para el punto C(1,1)C(1,1) (ya calculadas en el apartado i):

r1C=2 mr_{1C} = \sqrt{2} \text{ m} \\
r2C=2 mr_{2C} = \sqrt{2} \text{ m}

Energía potencial en C(1,1)C(1,1):

Ep(C)=−Gm3(m1r1C+m2r2C)E_p(C) = -G m_3 \left( \frac{m_1}{r_{1C}} + \frac{m_2}{r_{2C}} \right) \\
Ep(C)=−(6,67⋅10−11)(1)(102+102)E_p(C) = - (6,67 \cdot 10^{-11}) (1) \left( \frac{10}{\sqrt{2}} + \frac{10}{\sqrt{2}} \right) \\
Ep(C)=−6,67⋅10−11(202)=−6,67⋅10−11(14,142)E_p(C) = - 6,67 \cdot 10^{-11} \left( \frac{20}{\sqrt{2}} \right) = - 6,67 \cdot 10^{-11} (14,142) \\
Ep(C)=−9,433⋅10−10 JE_p(C) = -9,433 \cdot 10^{-10} \text{ J}

Finalmente, el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria:

WDC=Ep(D)−Ep(C)=(−9,652⋅10−10)−(−9,433⋅10−10)W_{DC} = E_p(D) - E_p(C) = (-9,652 \cdot 10^{-10}) - (-9,433 \cdot 10^{-10}) \\
WDC=−0,219⋅10−10 JW_{DC} = -0,219 \cdot 10^{-10} \text{ J} \\
WDC=−2,19⋅10−11 JW_{DC} = -2,19 \cdot 10^{-11} \text{ J}