T2: Sistemas de ecuaciones lineales · Aplicaciones de sistemas — MATEMATICAS II PEvAU Andaluc%2525252525252525252525C3%2525252525252525252525ADa 2023

Aplicaciones de sistemas

Problema

2023 · Ordinaria · Reserva

Una fábrica dispone de tres líquidos $L_1, L_2$ y $L_3$ , en los que se encuentran disueltas dos sustancias: sodio y magnesio. Cada litro del líquido $L_1$ contiene $120 \text{ mg}$ de sodio y $90 \text{ mg}$ de magnesio, cada litro del líquido $L_2$ contiene $100 \text{ mg}$ de sodio y $90 \text{ mg}$ de magnesio y cada litro del líquido $L_3$ contiene $60 \text{ mg}$ de sodio y $180 \text{ mg}$ de magnesio. ¿Es posible obtener un litro de un líquido mezclando distintas cantidades de $L_1, L_2$ y $L_3$ en el que la cantidad de sodio y de magnesio sea de $100 \text{ mg}$ cada una? En caso afirmativo, calcula dichas cantidades.

Sistemas de ecuacionesMezclas

Definimos las variables para las cantidades en litros de cada líquido que compondrán la mezcla final: $x$ : litros del líquido $L_1$ . $y$ : litros del líquido $L_2$ . $z$ : litros del líquido $L_3$ .A partir de los datos del enunciado, planteamos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas basándonos en el volumen total, la cantidad de sodio y la cantidad de magnesio:

\begin{cases} x + y + z = 1 \\ 120x + 100y + 60z = 100 \\ 90x + 90y + 180z = 100 \end{cases}

Simplificamos la segunda y tercera ecuación para facilitar el cálculo:

\begin{cases} x + y + z = 1 \quad \text{(Ec. 1)} \\ 6x + 5y + 3z = 5 \quad \text{(Ec. 2)} \\ 9x + 9y + 18z = 10 \quad \text{(Ec. 3)} \end{cases}

Resolvemos el sistema por el método de sustitución. De la (Ec. 1) despejamos $x$ :

x = 1 - y - z

Sustituimos $x$ en la (Ec. 2):

6(1 - y - z) + 5y + 3z = 5 \implies 6 - 6y - 6z + 5y + 3z = 5 \implies -y - 3z = -1 \implies y + 3z = 1

De aquí obtenemos $y$ en función de $z$ :

y = 1 - 3z

Sustituimos las expresiones de $x$ e $y$ en la (Ec. 3):

9(1 - y - z) + 9y + 18z = 10 \implies 9 - 9y - 9z + 9y + 18z = 10 \implies 9 + 9z = 10

Despejamos $z$ :

9z = 1 \implies z = \frac{1}{9}

Calculamos ahora los valores de $y$ y $x$ :

y = 1 - 3\left(\frac{1}{9}\right) = 1 - \frac{3}{9} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}

x = 1 - \frac{2}{3} - \frac{1}{9} = \frac{9 - 6 - 1}{9} = \frac{2}{9}

Dado que las tres cantidades son positivas ( $x = \frac{2}{9}$ , $y = \frac{2}{3}$ , $z = \frac{1}{9}$ ), es posible obtener la mezcla solicitada.

Conclusión

Para obtener un litro del líquido con las concentraciones deseadas, se deben mezclar $\frac{2}{9}$ litros del líquido $L_1$ , $\frac{2}{3}$ litros del líquido $L_2$ y $\frac{1}{9}$ litros del líquido $L_3$ .