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T5: Física moderna
Longitud de onda de De Broglie
Problema
2019 · Ordinaria · Suplente
4A-b
Examen
b) Determine la longitud de onda de un electrón que es acelerado desde el reposo aplicando una diferencia de potencial de 200 V200 \text{ V}.

Datos: h=6,63⋅10−34 J sh = 6,63 \cdot 10^{-34} \text{ J s}; e=1,6⋅10−19 Ce = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}; me=9,1⋅10−31 kgm_e = 9,1 \cdot 10^{-31} \text{ kg}

ElectrónPotencial de aceleración
b) La energía cinética que adquiere el electrón al ser acelerado por una diferencia de potencial VV es igual a la variación de su energía potencial eléctrica. Si parte del reposo, toda la energía potencial se transforma en energía cinética.
Ec=∣q∣VE_c = |q|V

Donde q=−eq = -e es la carga del electrón.

Ec=eV=(1,6⋅10−19 C)⋅(200 V)=3,2⋅10−17 JE_c = e V = (1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}) \cdot (200 \text{ V}) = 3,2 \cdot 10^{-17} \text{ J}

La energía cinética también está relacionada con el momento lineal pp mediante la expresión:

Ec=p22me  ⟹  p=2meEcE_c = \frac{p^2}{2m_e} \implies p = \sqrt{2m_e E_c}

Sustituyendo los valores:

p=2⋅(9,1⋅10−31 kg)⋅(3,2⋅10−17 J)p = \sqrt{2 \cdot (9,1 \cdot 10^{-31} \text{ kg}) \cdot (3,2 \cdot 10^{-17} \text{ J})}
p=5,824⋅10−47 kg2⋅m2/s2=7,631⋅10−24 kg⋅m/sp = \sqrt{5,824 \cdot 10^{-47} \text{ kg}^2 \cdot \text{m}^2/\text{s}^2} = 7,631 \cdot 10^{-24} \text{ kg} \cdot \text{m}/\text{s}

La longitud de onda de De Broglie λ\lambda para el electrón se determina con la siguiente fórmula:

λ=hp\lambda = \frac{h}{p}

Sustituyendo el valor de la constante de Planck hh y el momento lineal pp calculado:

λ=6,63⋅10−34 J s7,631⋅10−24 kg⋅m/s\lambda = \frac{6,63 \cdot 10^{-34} \text{ J s}}{7,631 \cdot 10^{-24} \text{ kg} \cdot \text{m}/\text{s}}
λ≈8,69⋅10−11 m\lambda \approx 8,69 \cdot 10^{-11} \text{ m}