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T1: Interacción gravitatoria
Energía potencial y trabajo
Problema
2017 · Extraordinaria · Reserva
1A-b
Examen
b) Dos masas iguales, de 50 kg50 \text{ kg}, se encuentran situadas en los puntos (−3,0) m(-3,0) \text{ m} y (3,0) m(3,0) \text{ m}. Calcule el trabajo necesario para desplazar una tercera masa de 30 kg30 \text{ kg} desde el punto (0,4) m(0,4) \text{ m} al punto (0,−4) m(0,-4) \text{ m} y comente el resultado obtenido.

Dato: G=6,67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}

trabajopotencial gravitatorio
b) Trabajo necesario para desplazar la masa de 30 kg desde (0,4) m hasta (0,−4) m.

El trabajo realizado por la fuerza gravitatoria al desplazar una masa entre dos puntos se calcula como la diferencia de energía potencial gravitatoria (con signo cambiado):

W=−ΔEp=−(Ep,f−Ep,i)=Ep,i−Ep,fW = -\Delta E_p = -(E_{p,f} - E_{p,i}) = E_{p,i} - E_{p,f}

La energía potencial gravitatoria de la masa m3=30m_3 = 30 kg en un punto P debida a las dos masas m1=m2=50m_1 = m_2 = 50 kg es:

Ep=−Gm1m3r1−Gm2m3r2E_p = -G\frac{m_1 m_3}{r_1} - G\frac{m_2 m_3}{r_2}
Punto inicial: A = (0, 4) m

Distancia de cada masa m1(−3,0)m_1(-3,0) y m2(3,0)m_2(3,0) al punto A(0,4)(0,4):

r1A=(0−(−3))2+(4−0)2=9+16=25=5 mr_{1A} = \sqrt{(0-(-3))^2 + (4-0)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ m}
r2A=(0−3)2+(4−0)2=9+16=25=5 mr_{2A} = \sqrt{(0-3)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ m}

Energía potencial en el punto inicial A:

Ep,i=−Gm1m3r1A−Gm2m3r2A=−2⋅Gm1m35E_{p,i} = -G\frac{m_1 m_3}{r_{1A}} - G\frac{m_2 m_3}{r_{2A}} = -2 \cdot G\frac{m_1 m_3}{5}
Ep,i=−2⋅6,67×10−11⋅50⋅305=−2⋅6,67×10−11⋅300E_{p,i} = -2 \cdot 6{,}67 \times 10^{-11} \cdot \frac{50 \cdot 30}{5} = -2 \cdot 6{,}67 \times 10^{-11} \cdot 300
Ep,i=−2⋅2,001×10−8=−4,002×10−8 JE_{p,i} = -2 \cdot 2{,}001 \times 10^{-8} = -4{,}002 \times 10^{-8} \text{ J}
Punto final: B = (0, −4) m

Distancia de cada masa m1(−3,0)m_1(-3,0) y m2(3,0)m_2(3,0) al punto B(0,−4)(0,-4):

r1B=(0−(−3))2+(−4−0)2=9+16=25=5 mr_{1B} = \sqrt{(0-(-3))^2 + (-4-0)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ m}
r2B=(0−3)2+(−4−0)2=9+16=25=5 mr_{2B} = \sqrt{(0-3)^2 + (-4-0)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ m}

Energía potencial en el punto final B:

Ep,f=−2⋅Gm1m35=−4,002×10−8 JE_{p,f} = -2 \cdot G\frac{m_1 m_3}{5} = -4{,}002 \times 10^{-8} \text{ J}
Cálculo del trabajo
W=Ep,i−Ep,f=−4,002×10−8−(−4,002×10−8)W = E_{p,i} - E_{p,f} = -4{,}002 \times 10^{-8} - (-4{,}002 \times 10^{-8})
W=0 J\boxed{W = 0 \text{ J}}
Comentario del resultado

El trabajo es nulo porque los puntos A(0,4)(0,4) y B(0,−4)(0,-4) se encuentran a exactamente la misma distancia (5 m) de cada una de las dos masas, es decir, tienen el mismo potencial gravitatorio. Por tanto, ambos puntos pertenecen a la misma superficie equipotencial.Esto es una consecuencia directa del carácter conservativo de la fuerza gravitatoria: el trabajo solo depende de los potenciales en los puntos inicial y final, no de la trayectoria seguida. Si el potencial inicial y final coinciden, el trabajo realizado por la gravedad es cero, y el trabajo externo necesario para desplazar la masa también es nulo.