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T5: Física moderna
Dualidad onda-corpúsculo
Problema
2020 · Ordinaria · Titular
4-b
Examen
b) Se acelera un protón desde el reposo mediante una diferencia de potencial de 1000 V1000 \text{ V}. Determine: i) La velocidad que adquiere el protón. ii) Su longitud de onda de De Broglie.

Datos: mp=1,7⋅10−27 kgm_p = 1,7 \cdot 10^{-27} \text{ kg}; h=6,63⋅10−34 J⋅sh = 6,63 \cdot 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}; e=1,6⋅10−19 Ce = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}

ProtónDiferencia de potencialLongitud de onda de De Broglie
b) Protón acelerado desde el reposo con ΔV=1000 V\Delta V = 1000 \text{ V}
i) Velocidad que adquiere el protón

Al acelerar el protón mediante una diferencia de potencial ΔV\Delta V, el trabajo realizado por el campo eléctrico se convierte íntegramente en energía cinética (parte del reposo):

e⋅ΔV=12mpv2e \cdot \Delta V = \frac{1}{2} m_p v^2

Despejando la velocidad vv:

v=2⋅e⋅ΔVmpv = \sqrt{\frac{2 \cdot e \cdot \Delta V}{m_p}}

Sustituyendo los valores:

v=2⋅(1,6⋅10−19 C)⋅(1000 V)1,7⋅10−27 kgv = \sqrt{\frac{2 \cdot (1{,}6 \cdot 10^{-19} \text{ C}) \cdot (1000 \text{ V})}{1{,}7 \cdot 10^{-27} \text{ kg}}}
v=3,2⋅10−161,7⋅10−27=1,882⋅1011≈4,34⋅105 m/sv = \sqrt{\frac{3{,}2 \cdot 10^{-16}}{1{,}7 \cdot 10^{-27}}} = \sqrt{1{,}882 \cdot 10^{11}} \approx 4{,}34 \cdot 10^{5} \text{ m/s}
ii) Longitud de onda de De Broglie

La longitud de onda de De Broglie asociada a una partícula de masa mm y velocidad vv es:

λ=hmp⋅v\lambda = \frac{h}{m_p \cdot v}

Sustituyendo los valores:

λ=6,63⋅10−34 J⋅s(1,7⋅10−27 kg)⋅(4,34⋅105 m/s)\lambda = \frac{6{,}63 \cdot 10^{-34} \text{ J·s}}{(1{,}7 \cdot 10^{-27} \text{ kg}) \cdot (4{,}34 \cdot 10^{5} \text{ m/s})}
λ=6,63⋅10−347,378⋅10−22≈8,99⋅10−13 m≈9,0⋅10−13 m\lambda = \frac{6{,}63 \cdot 10^{-34}}{7{,}378 \cdot 10^{-22}} \approx 8{,}99 \cdot 10^{-13} \text{ m} \approx 9{,}0 \cdot 10^{-13} \text{ m}

La longitud de onda de De Broglie del protón es aproximadamente λ≈9,0⋅10−13 m\lambda \approx 9{,}0 \cdot 10^{-13} \text{ m}, del orden del picómetro, lo que refleja el carácter ondulatorio de las partículas subatómicas.