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T4: Funciones
Continuidad y derivabilidad
Problema
2022 · Ordinaria · Suplente
1A
Examen
EJERCICIO 1

Sea ff la función continua definida por

f(x)={x2+2si x≤0ax+bsi 0<x≤2−x22+32si 2<xf(x) = \begin{cases} x^2 + 2 & \text{si } x \le 0 \\ \sqrt{ax + b} & \text{si } 0 < x \le 2 \\ \frac{-x}{2\sqrt{2}} + \frac{3}{\sqrt{2}} & \text{si } 2 < x \end{cases}
a) Calcula aa y bb.b) Para a=−1a = -1 y b=4b = 4, estudia si existe la derivada de ff en x=2x = 2. En caso afirmativo, calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de ff en dicho punto.
ContinuidadDerivabilidadRecta tangente
Resolución del Ejercicio 1
a) Calcula aa y bb.

Para que la función sea continua, debe serlo en los puntos donde cambia su definición, es decir, en x=0x=0 y x=2x=2.Continuidad en x=0x=0:

lim⁡x→0−f(x)=f(0)=02+2=2\lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0) = 0^2 + 2 = 2
lim⁡x→0+f(x)=a(0)+b=b\lim_{x \to 0^+} f(x) = \sqrt{a(0) + b} = \sqrt{b}

Para que sea continua, los límites laterales y el valor de la función deben ser iguales:

b=2  ⟹  b=4\sqrt{b} = 2 \implies b = 4

Continuidad en x=2x=2:

lim⁡x→2−f(x)=f(2)=a(2)+b=2a+b\lim_{x \to 2^-} f(x) = f(2) = \sqrt{a(2) + b} = \sqrt{2a + b}
lim⁡x→2+f(x)=−222+32=−12+32=22=2\lim_{x \to 2^+} f(x) = \frac{-2}{2\sqrt{2}} + \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{-1}{\sqrt{2}} + \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}

Para que sea continua, los límites laterales y el valor de la función deben ser iguales:

2a+b=2  ⟹  2a+b=2\sqrt{2a + b} = \sqrt{2} \implies 2a + b = 2

Sustituyendo b=4b=4 en la ecuación anterior:

2a+4=2  ⟹  2a=−2  ⟹  a=−12a + 4 = 2 \implies 2a = -2 \implies a = -1

Por lo tanto, los valores son a=−1a = -1 y b=4b = 4.

b) Para a=−1a = -1 y b=4b = 4, estudia si existe la derivada de ff en x=2x = 2. En caso afirmativo, calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de ff en dicho punto.

Con a=−1a = -1 y b=4b = 4, la función f(x)f(x) es:

f(x)={x2+2si x≤0−x+4si 0<x≤2−x22+32si 2<xf(x) = \begin{cases} x^2 + 2 & \text{si } x \le 0 \\ \sqrt{-x + 4} & \text{si } 0 < x \le 2 \\ \frac{-x}{2\sqrt{2}} + \frac{3}{\sqrt{2}} & \text{si } 2 < x \end{cases}

Para que la derivada exista en x=2x=2, las derivadas laterales deben ser iguales.Calculamos las derivadas de las ramas relevantes:Para 0<x<20 < x < 2, f(x)=−x+4=(−x+4)1/2f(x) = \sqrt{-x+4} = (-x+4)^{1/2}.

f′(x)=12(−x+4)−1/2(−1)=−12−x+4f'(x) = \frac{1}{2}(-x+4)^{-1/2}(-1) = \frac{-1}{2\sqrt{-x+4}}

Para x>2x > 2, f(x)=−x22+32f(x) = \frac{-x}{2\sqrt{2}} + \frac{3}{\sqrt{2}}.

f′(x)=−122f'(x) = \frac{-1}{2\sqrt{2}}

Ahora, calculamos las derivadas laterales en x=2x=2:Derivada por la izquierda en x=2x=2:

f′(2−)=lim⁡x→2−−12−x+4=−12−2+4=−122f'(2^-) = \lim_{x \to 2^-} \frac{-1}{2\sqrt{-x+4}} = \frac{-1}{2\sqrt{-2+4}} = \frac{-1}{2\sqrt{2}}

Derivada por la derecha en x=2x=2:

f′(2+)=lim⁡x→2+−122=−122f'(2^+) = \lim_{x \to 2^+} \frac{-1}{2\sqrt{2}} = \frac{-1}{2\sqrt{2}}

Dado que f′(2−)=f′(2+)=−122f'(2^-) = f'(2^+) = \frac{-1}{2\sqrt{2}}, la derivada de ff en x=2x=2 existe y es f′(2)=−122f'(2) = \frac{-1}{2\sqrt{2}}.Ahora calculamos la ecuación de la recta tangente a la gráfica de ff en x=2x=2. La ecuación de la recta tangente es y−f(2)=f′(2)(x−2)y - f(2) = f'(2)(x - 2).Primero, hallamos el valor de la función en x=2x=2:

f(2)=−2+4=2f(2) = \sqrt{-2+4} = \sqrt{2}

Tenemos f′(2)=−122f'(2) = \frac{-1}{2\sqrt{2}}.Sustituyendo en la ecuación de la recta tangente:

y−2=−122(x−2)y - \sqrt{2} = \frac{-1}{2\sqrt{2}}(x - 2)
y=−122x+222+2y = \frac{-1}{2\sqrt{2}}x + \frac{2}{2\sqrt{2}} + \sqrt{2}
y=−122x+12+22y = \frac{-1}{2\sqrt{2}}x + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{2}{\sqrt{2}}
y=−122x+32y = \frac{-1}{2\sqrt{2}}x + \frac{3}{\sqrt{2}}

Racionalizando los denominadores:

y=−24x+322y = \frac{-\sqrt{2}}{4}x + \frac{3\sqrt{2}}{2}