El número cuántico principal ($n$) indica el nivel de energía y el tamaño del orbital, tomando valores enteros positivos ($1, 2, 3, \dots$). El número cuántico azimutal o del momento angular ($l$) define la forma del orbital y el subnivel de energía. Sus valores son enteros desde $0$ hasta $n-1$. Se asocian letras a estos valores: $l=0$ para orbitales $s$, $l=1$ para $p$, $l=2$ para $d$ y $l=3$ para $f$. El número cuántico magnético ($m_l$) describe la orientación espacial del orbital, tomando valores enteros desde $-l$ hasta $+l$, incluyendo el $0$. El número cuántico de espín ($m_s$) indica el sentido de giro del electrón sobre su propio eje, con valores de $+½$ o $-½$.Para la combinación $(3,2,1, ext{–½})$:El número cuántico principal $n=3$ es posible. El número cuántico azimutal $l=2$ es posible, ya que $l$ puede tomar valores desde $0$ hasta $n-1$. Para $n=3$, $l$ puede ser $0, 1, 2$. El número cuántico magnético $m_l=1$ es posible, ya que $m_l$ puede tomar valores desde $-l$ hasta $+l$. Para $l=2$, $m_l$ puede ser $-2, -1, 0, 1, 2$. El número cuántico de espín $m_s = ext{–½}$ es posible.Por lo tanto, la combinación $(3,2,1, ext{–½})$ es posible.Para la combinación $(1,1,0, ext{+½})$:El número cuántico principal $n=1$ es posible. El número cuántico azimutal $l=1$ no es posible, ya que para $n=1$, el único valor posible para $l$ es $0$ (dado que $l$ debe ser menor que $n$). Dado que $l$ no es posible, los valores de $m_l$ y $m_s$ tampoco tendrían sentido en este contexto.Por lo tanto, la combinación $(1,1,0, ext{+½})$ no es posible.

Para el orbital $5d$:

Para el orbital $4s$:

Comparando los valores de $(n+l)$, se observa que para el orbital $5d$ es $7$ y para el orbital $4s$ es $4$. Puesto que $7 > 4$, el orbital $5d$ es más energético que el $4s$.

El número cuántico principal es $n=3$. Para un orbital $d$, el número cuántico azimutal es $l=2$. Los posibles valores para el número cuántico magnético ($m_l$) son de $-l$ a $+l$, es decir, $-2, -1, 0, 1, 2$. Se puede elegir, por ejemplo, $m_l=0$. Los posibles valores para el número cuántico de espín ($m_s$) son $+½$ o $-½$. Se puede elegir, por ejemplo, $m_s = ext{+½}$.Una posible combinación de números cuánticos para un electrón en un orbital $3d$ es $(3,2,0, ext{+½})$.

Para el ion $\ce{K+}$:El átomo de potasio ($\ce{K}$) tiene número atómico $Z=19$, lo que significa que un átomo neutro de potasio tiene $19$ electrones. El ion $\ce{K+}$ se forma al perder un electrón, por lo que tiene $19-1=18$ electrones. Su configuración electrónica es $1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^6$.Para el átomo de $\ce{Ar}$:El átomo de argón ($\ce{Ar}$) tiene número atómico $Z=18$, lo que significa que un átomo neutro de argón tiene $18$ electrones. Su configuración electrónica es $1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^6$.Dado que tanto el ion $\ce{K+}$ como el átomo de $\ce{Ar}$ poseen $18$ electrones y la misma configuración electrónica, son especies isoelectrónicas.