Para facilitar el estudio de la función $f(x) = \frac{1}{x|x|}$, la reescribimos como una función definida a trozos eliminando el valor absoluto según el signo de $x$:

Para determinar la curvatura, calculamos la primera y segunda derivada para cada tramo del dominio ($x \neq 0$):

Analizamos el signo de la segunda derivada en los dos intervalos que componen el dominio:En el intervalo $(-\infty, 0)$, $f''(x) = -\frac{6}{x^4}$. Dado que $x^4 > 0$ para cualquier $x \neq 0$, la segunda derivada es negativa ($f''(x) < 0$). Por tanto, la función es cóncava en $(-\infty, 0)$.En el intervalo $(0, +\infty)$, $f''(x) = \frac{6}{x^4}$. Al ser $x^4 > 0$, la segunda derivada es positiva ($f''(x) > 0$). Por tanto, la función es convexa en $(0, +\infty)$.En cuanto a los puntos de inflexión, observamos que $f''(x)$ nunca se anula. Aunque hay un cambio de curvatura en $x = 0$, la función no está definida en ese punto, por lo que no existen puntos de inflexión.

Asíntotas verticales: Estudiamos los límites laterales en el punto donde la función no está definida, $x = 0$:

Al ser los límites infinitos, existe una asíntota vertical en la recta $x = 0$.Asíntotas horizontales: Calculamos el límite de la función cuando $x$ tiende a infinito:

Por tanto, existe una asíntota horizontal en la recta $y = 0$ (el eje $X$). Al existir asíntota horizontal, se descarta la existencia de asíntotas oblicuas.Esbozo de la gráfica: La gráfica consta de dos ramas. Para $x > 0$, la función es positiva, decreciente y convexa, situada en el primer cuadrante y asintótica a los ejes. Para $x < 0$, la función es negativa, creciente y cóncava, situada en el tercer cuadrante y asintótica a los ejes.