1. Hallar la ecuación del plano $\pi$
Para determinar la ecuación del plano que contiene a los puntos B ( 1 , 1 , 2 ) B(1, 1, 2) B ( 1 , 1 , 2 ) , C ( 0 , 1 / 3 , 1 ) C(0, 1/3, 1) C ( 0 , 1/3 , 1 ) y D ( − 3 , 0 , 3 ) D(-3, 0, 3) D ( − 3 , 0 , 3 ) , calculamos primero dos vectores directores del plano a partir de dichos puntos:
B C ⃗ = C − B = ( 0 − 1 , 1 3 − 1 , 1 − 2 ) = ( − 1 , − 2 3 , − 1 ) \vec{BC} = C - B = \left(0-1, \frac{1}{3}-1, 1-2\right) = \left(-1, -\frac{2}{3}, -1\right) B C = C − B = ( 0 − 1 , 3 1 − 1 , 1 − 2 ) = ( − 1 , − 3 2 , − 1 ) B D ⃗ = D − B = ( − 3 − 1 , 0 − 1 , 3 − 2 ) = ( − 4 , − 1 , 1 ) \vec{BD} = D - B = (-3-1, 0-1, 3-2) = (-4, -1, 1) B D = D − B = ( − 3 − 1 , 0 − 1 , 3 − 2 ) = ( − 4 , − 1 , 1 ) Para simplificar cálculos, podemos usar un vector proporcional a B C ⃗ \vec{BC} B C multiplicándolo por − 3 -3 − 3 : u ⃗ = ( 3 , 2 , 3 ) \vec{u} = (3, 2, 3) u = ( 3 , 2 , 3 ) . El vector normal al plano n ⃗ \vec{n} n se obtiene mediante el producto vectorial de u ⃗ \vec{u} u y v ⃗ = B D ⃗ \vec{v} = \vec{BD} v = B D :
n ⃗ = u ⃗ × v ⃗ = ∣ i j k 3 2 3 − 4 − 1 1 ∣ = ( 2 + 3 ) i − ( 3 + 12 ) j + ( − 3 + 8 ) k = ( 5 , − 15 , 5 ) \vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & 2 & 3 \\ -4 & -1 & 1 \end{vmatrix} = (2+3)\mathbf{i} - (3+12)\mathbf{j} + (-3+8)\mathbf{k} = (5, -15, 5) n = u × v = i 3 − 4 j 2 − 1 k 3 1 = ( 2 + 3 ) i − ( 3 + 12 ) j + ( − 3 + 8 ) k = ( 5 , − 15 , 5 ) Tomamos como vector normal simplificado n ⃗ = ( 1 , − 3 , 1 ) \vec{n} = (1, -3, 1) n = ( 1 , − 3 , 1 ) . La ecuación del plano es de la forma x − 3 y + z + D = 0 x - 3y + z + D = 0 x − 3 y + z + D = 0 . Imponemos que pase por B ( 1 , 1 , 2 ) B(1, 1, 2) B ( 1 , 1 , 2 ) :
1 − 3 ( 1 ) + 2 + D = 0 ⟹ D = 0 1 - 3(1) + 2 + D = 0 \implies D = 0 1 − 3 ( 1 ) + 2 + D = 0 ⟹ D = 0 Por lo tanto, la ecuación del plano π \pi π es x − 3 y + z = 0 x - 3y + z = 0 x − 3 y + z = 0 .
2. Proyección ortogonal de $A$ sobre el plano $\pi$
Sea r r r la recta perpendicular a π \pi π que pasa por A ( 2 , − 4 , − 3 ) A(2, -4, -3) A ( 2 , − 4 , − 3 ) . Su vector director es el normal del plano d r ⃗ = ( 1 , − 3 , 1 ) \vec{d_r} = (1, -3, 1) d r = ( 1 , − 3 , 1 ) . Sus ecuaciones paramétricas son:
r : { x = 2 + t y = − 4 − 3 t z = − 3 + t r: \begin{cases} x = 2 + t \\ y = -4 - 3t \\ z = -3 + t \end{cases} r : ⎩ ⎨ ⎧ x = 2 + t y = − 4 − 3 t z = − 3 + t El punto de intersección M M M de la recta r r r con el plano π \pi π es la proyección de A A A sobre el plano:
( 2 + t ) − 3 ( − 4 − 3 t ) + ( − 3 + t ) = 0 (2 + t) - 3(-4 - 3t) + (-3 + t) = 0 ( 2 + t ) − 3 ( − 4 − 3 t ) + ( − 3 + t ) = 0 2 + t + 12 + 9 t − 3 + t = 0 ⟹ 11 t + 11 = 0 ⟹ t = − 1 2 + t + 12 + 9t - 3 + t = 0 \implies 11t + 11 = 0 \implies t = -1 2 + t + 12 + 9 t − 3 + t = 0 ⟹ 11 t + 11 = 0 ⟹ t = − 1 Sustituyendo t = − 1 t = -1 t = − 1 en las ecuaciones de r r r , obtenemos el punto M M M :
M ( 2 − 1 , − 4 − 3 ( − 1 ) , − 3 − 1 ) = M ( 1 , − 1 , − 4 ) M(2 - 1, -4 - 3(-1), -3 - 1) = M(1, -1, -4) M ( 2 − 1 , − 4 − 3 ( − 1 ) , − 3 − 1 ) = M ( 1 , − 1 , − 4 ) 3. Cálculo del punto simétrico $A'$
El punto M M M es el punto medio del segmento A A ′ AA' A A ′ , donde A ′ A' A ′ es el simétrico buscado A ′ ( x ′ , y ′ , z ′ ) A'(x', y', z') A ′ ( x ′ , y ′ , z ′ ) :
M = A + A ′ 2 ⟹ A ′ = 2 M − A M = \frac{A + A'}{2} \implies A' = 2M - A M = 2 A + A ′ ⟹ A ′ = 2 M − A x ′ = 2 ( 1 ) − 2 = 0 x' = 2(1) - 2 = 0 x ′ = 2 ( 1 ) − 2 = 0 y ′ = 2 ( − 1 ) − ( − 4 ) = − 2 + 4 = 2 y' = 2(-1) - (-4) = -2 + 4 = 2 y ′ = 2 ( − 1 ) − ( − 4 ) = − 2 + 4 = 2 z ′ = 2 ( − 4 ) − ( − 3 ) = − 8 + 3 = − 5 z' = 2(-4) - (-3) = -8 + 3 = -5 z ′ = 2 ( − 4 ) − ( − 3 ) = − 8 + 3 = − 5 El punto simétrico de A A A con respecto al plano es A ′ ( 0 , 2 , − 5 ) A'(0, 2, -5) A ′ ( 0 , 2 , − 5 ) .
