AndalucíaAndalucía
MadridMadrid
CataluñaCataluña
GaliciaGalicia
MurciaMurcia
ValenciaValencia
En construcciónAñadimos comunidades, materias, años y soluciones de forma progresiva y constante.
T4: Funciones
Asíntotas y Monotonía
Problema
2020 · Ordinaria · Suplente
1
Examen

Considera la función ff definida por f(x)=x3x2−1f(x) = \frac{x^3}{x^2 - 1} para x≠1,−1x \neq 1, -1.

a) Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de ff.b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de ff.
Análisis de funcionesAsíntotasCrecimiento
a) Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de ff.
Asíntotas Verticales (AV)

Las asíntotas verticales se encuentran en los valores de xx que anulan el denominador y no el numerador.

x2−1=0  ⟹  (x−1)(x+1)=0x^2 - 1 = 0 \implies (x-1)(x+1) = 0

Por lo tanto, las asíntotas verticales están en x=1x = 1 y x=−1x = -1. Analizamos los límites laterales para confirmar el comportamiento de la función alrededor de estas asíntotas.

lim⁡x→1+x3x2−1=10+=+∞\lim_{x \to 1^+} \frac{x^3}{x^2 - 1} = \frac{1}{0^+} = +\infty
lim⁡x→1−x3x2−1=10−=−∞\lim_{x \to 1^-} \frac{x^3}{x^2 - 1} = \frac{1}{0^-} = -\infty
lim⁡x→−1+x3x2−1=−10−=+∞\lim_{x \to -1^+} \frac{x^3}{x^2 - 1} = \frac{-1}{0^-} = +\infty
lim⁡x→−1−x3x2−1=−10+=−∞\lim_{x \to -1^-} \frac{x^3}{x^2 - 1} = \frac{-1}{0^+} = -\infty

Asíntotas verticales: x=1x = 1 y x=−1x = -1.

Asíntotas Horizontales (AH)

Para hallar las asíntotas horizontales, calculamos el límite de la función cuando x→±∞x \to \pm\infty.

lim⁡x→±∞x3x2−1=lim⁡x→±∞x3/x2(x2−1)/x2=lim⁡x→±∞x1−1/x2=±∞\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3}{x^2 - 1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3/x^2}{(x^2 - 1)/x^2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x}{1 - 1/x^2} = \pm\infty

Dado que los límites son infinitos, no hay asíntotas horizontales.

Asíntotas Oblicuas (AO)

Como el grado del numerador es uno mayor que el grado del denominador, es posible que existan asíntotas oblicuas. Una asíntota oblicua tiene la forma y=mx+ny = mx + n, donde:

m=lim⁡x→±∞f(x)xm = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}
m=lim⁡x→±∞x3x(x2−1)=lim⁡x→±∞x3x3−x=1m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3}{x(x^2 - 1)} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3}{x^3 - x} = 1
n=lim⁡x→±∞(f(x)−mx)n = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - mx)
n=lim⁡x→±∞(x3x2−1−1x)=lim⁡x→±∞x3−x(x2−1)x2−1n = \lim_{x \to \pm\infty} \left( \frac{x^3}{x^2 - 1} - 1x \right) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3 - x(x^2 - 1)}{x^2 - 1}
n=lim⁡x→±∞x3−x3+xx2−1=lim⁡x→±∞xx2−1=0n = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3 - x^3 + x}{x^2 - 1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x}{x^2 - 1} = 0

La asíntota oblicua es y=1x+0y = 1x + 0, es decir, y=xy = x.

b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de ff.

Para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, necesitamos calcular la primera derivada de la función f(x)f(x) y analizar su signo.

f(x)=x3x2−1f(x) = \frac{x^3}{x^2 - 1}

Aplicamos la regla del cociente (u/v)′=(u′v−uv′)/v2(u/v)' = (u'v - uv')/v^2:

u=x3  ⟹  u′=3x2u = x^3 \implies u' = 3x^2
v=x2−1  ⟹  v′=2xv = x^2 - 1 \implies v' = 2x
f′(x)=3x2(x2−1)−x3(2x)(x2−1)2f'(x) = \frac{3x^2(x^2 - 1) - x^3(2x)}{(x^2 - 1)^2}
f′(x)=3x4−3x2−2x4(x2−1)2f'(x) = \frac{3x^4 - 3x^2 - 2x^4}{(x^2 - 1)^2}
f′(x)=x4−3x2(x2−1)2=x2(x2−3)(x2−1)2f'(x) = \frac{x^4 - 3x^2}{(x^2 - 1)^2} = \frac{x^2(x^2 - 3)}{(x^2 - 1)^2}

Los puntos críticos se encuentran donde f′(x)=0f'(x) = 0 o f′(x)f'(x) es indefinida.El denominador (x2−1)2(x^2 - 1)^2 es cero cuando x=±1x = \pm 1, donde la función f(x)f(x) no está definida. Estos puntos separan los intervalos de análisis.El numerador x2(x2−3)x^2(x^2 - 3) es cero cuando:

x2=0  ⟹  x=0x^2 = 0 \implies x = 0
x2−3=0  ⟹  x2=3  ⟹  x=±3x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = 3 \implies x = \pm\sqrt{3}

Los puntos a considerar para el estudio del signo de f′(x)f'(x) son x=−3x = -\sqrt{3}, x=−1x = -1, x=0x = 0, x=1x = 1 y x=3x = \sqrt{3}. Recordemos que 3≈1.732\sqrt{3} \approx 1.732.El signo de f′(x)f'(x) depende del signo de x2−3x^2 - 3, ya que x2≥0x^2 \ge 0 y (x2−1)2>0(x^2 - 1)^2 > 0 para x≠±1x \neq \pm 1.Estudiamos los intervalos:1. En (−∞,−3)(-\infty, -\sqrt{3}): Por ejemplo, x=−2x = -2. x2−3=(−2)2−3=1>0x^2 - 3 = (-2)^2 - 3 = 1 > 0. f′(x)>0f'(x) > 0. La función crece.2. En (−3,−1)(-\sqrt{3}, -1): Por ejemplo, x=−1.5x = -1.5. x2−3=(−1.5)2−3=2.25−3=−0.75<0x^2 - 3 = (-1.5)^2 - 3 = 2.25 - 3 = -0.75 < 0. f′(x)<0f'(x) < 0. La función decrece.3. En (−1,0)(-1, 0): Por ejemplo, x=−0.5x = -0.5. x2−3=(−0.5)2−3=0.25−3=−2.75<0x^2 - 3 = (-0.5)^2 - 3 = 0.25 - 3 = -2.75 < 0. f′(x)<0f'(x) < 0. La función decrece.4. En (0,1)(0, 1): Por ejemplo, x=0.5x = 0.5. x2−3=(0.5)2−3=0.25−3=−2.75<0x^2 - 3 = (0.5)^2 - 3 = 0.25 - 3 = -2.75 < 0. f′(x)<0f'(x) < 0. La función decrece.5. En (1,3)(1, \sqrt{3}): Por ejemplo, x=1.5x = 1.5. x2−3=(1.5)2−3=2.25−3=−0.75<0x^2 - 3 = (1.5)^2 - 3 = 2.25 - 3 = -0.75 < 0. f′(x)<0f'(x) < 0. La función decrece.6. En (3,+∞)(\sqrt{3}, +\infty): Por ejemplo, x=2x = 2. x2−3=(2)2−3=1>0x^2 - 3 = (2)^2 - 3 = 1 > 0. f′(x)>0f'(x) > 0. La función crece.

Intervalos de Crecimiento y Decrecimiento

Intervalos de crecimiento: (−∞,−3)∪(3,+∞)(-\infty, -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, +\infty).Intervalos de decrecimiento: (−3,−1)∪(−1,1)∪(1,3)(-\sqrt{3}, -1) \cup (-1, 1) \cup (1, \sqrt{3}).