T1: Interacción gravitatoria · Conservación de la energía, Rozamiento — FISICA PEvAU Andaluc%2525252525252525252525252525C3%2525252525252525252525252525ADa 2026

Conservación de la energía, Rozamiento

Problema

2026 · Ordinaria · Suplente

A-b2

b2) Una niña montada en un trineo desciende, partiendo del reposo, por una colina nevada que forma un ángulo de

37^{\circ}

con la horizontal desde una altura de

25 \text{ m}

. Cuando llega al final de la colina, recorre una cierta distancia hasta detenerse. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento dinámico con la nieve es de

0,1

y que la masa del sistema (niña-trineo) es

75 \text{ kg}

: i) realice un esquema con las fuerzas que actúan sobre el sistema cuando desliza por la colina y por la superficie horizontal; ii) determine, mediante consideraciones energéticas, la velocidad con la que llega al final de la colina y la distancia recorrida en el tramo horizontal hasta detenerse.

$g = 9,8 \text{ m/s}^2$

Energía mecánicaTrabajo de rozamientoVelocidad+1

i) Esquema con las fuerzas que actúan sobre el sistema cuando desliza por la colina y por la superficie horizontal.

Las fuerzas que actúan sobre el sistema (niña-trineo) cuando desliza por la colina inclinada son el peso ( $P$ ), la fuerza normal ( $N$ ) y la fuerza de rozamiento ( $f_r$ ). El peso se descompone en una componente paralela al plano ( $P_x$ ) y otra perpendicular ( $P_y$ ).

Cuando el sistema se mueve por la superficie horizontal, las fuerzas que actúan son el peso ( $P$ ), la fuerza normal ( $N$ ) y la fuerza de rozamiento ( $f_r$ ).

ii) Determine, mediante consideraciones energéticas, la velocidad con la que llega al final de la colina y la distancia recorrida en el tramo horizontal hasta detenerse.

Utilizamos el teorema de las fuerzas vivas (Teorema de la Energía Cinética) o el principio de conservación de la energía mecánica con la inclusión del trabajo realizado por fuerzas no conservativas (rozamiento). Este principio establece que el trabajo de las fuerzas no conservativas es igual a la variación de la energía mecánica del sistema:

W_{nc} = \Delta E_{mec} = (E_{c,final} + E_{p,final}) - (E_{c,inicial} + E_{p,inicial})

Donde $E_c = \frac{1}{2}mv^2$ es la energía cinética y $E_p = mgh$ es la energía potencial gravitatoria.

Tramo 1: Descenso por la colina inclinada (punto A al punto B)

Datos para este tramo:

m = 75 \text{ kg}$ \ $h_A = 25 \text{ m}$ \ $v_A = 0 \text{ m/s}$ (parte del reposo) \ $\alpha = 37^\circ

La longitud de la colina ( $L$ ) se puede calcular a partir de la altura y el ángulo:

L = \frac{h_A}{\sin(\alpha)} = \frac{25 \text{ m}}{\sin(37^\circ)} = \frac{25 \text{ m}}{0.6018} \approx 41.53 \text{ m}

La fuerza normal ( $N$ ) sobre el plano inclinado es igual a la componente perpendicular del peso ( $P_y$ ):

N = P_y = mg \cos(\alpha)

La fuerza de rozamiento ( $f_r$ ) es:

f_r = \mu_d N = \mu_d mg \cos(\alpha)

f_r = 0.1 \cdot 75 \text{ kg} \cdot 9.8 \text{ m/s}^2 \cdot \cos(37^\circ)

f_r = 0.1 \cdot 75 \cdot 9.8 \cdot 0.7986 \approx 58.70 \text{ N}

El trabajo realizado por la fuerza de rozamiento ( $W_{fr}$ ) es negativo porque se opone al movimiento:

W_{fr} = -f_r \cdot L = -58.70 \text{ N} \cdot 41.53 \text{ m} \approx -2439.0 \text{ J}

Aplicamos el teorema de la energía (considerando $h_B = 0$ en el punto B):

W_{fr} = (\frac{1}{2} m v_B^2 + mgh_B) - (\frac{1}{2} m v_A^2 + mgh_A)$ \ $-f_r L = (\frac{1}{2} m v_B^2 + 0) - (0 + mgh_A)$ \ $\frac{1}{2} m v_B^2 = mgh_A - f_r L

Sustituyendo los valores:

\frac{1}{2} \cdot 75 \text{ kg} \cdot v_B^2 = 75 \text{ kg} \cdot 9.8 \text{ m/s}^2 \cdot 25 \text{ m} - 2439.0 \text{ J}$ \ $37.5 v_B^2 = 18375 \text{ J} - 2439.0 \text{ J}$ \ $37.5 v_B^2 = 15936 \text{ J}$ \ $v_B^2 = \frac{15936}{37.5} = 424.96 \text{ (m/s)}^2

Por lo tanto, la velocidad con la que llega al final de la colina es:

v_B = \sqrt{424.96} \approx 20.62 \text{ m/s}

Tramo 2: Movimiento por la superficie horizontal hasta detenerse (punto B al punto C)

Datos para este tramo:

v_B \approx 20.62 \text{ m/s}$ \ $v_C = 0 \text{ m/s}$ (se detiene) \ $h_B = h_C = 0 \text{ m}

Sobre la superficie horizontal, la fuerza normal ( $N_H$ ) es igual al peso ( $P$ ):

N_H = P = mg = 75 \text{ kg} \cdot 9.8 \text{ m/s}^2 = 735 \text{ N}

La fuerza de rozamiento ( $f_{r,H}$ ) en este tramo es:

f_{r,H} = \mu_d N_H = 0.1 \cdot 735 \text{ N} = 73.5 \text{ N}

Aplicamos el teorema de la energía entre los puntos B y C. En este tramo, solo la fuerza de rozamiento realiza trabajo, y no hay cambio en la energía potencial gravitatoria:

W_{nc} = \Delta E_{mec}$ \ $-f_{r,H} \cdot x_H = (\frac{1}{2} m v_C^2 + mgh_C) - (\frac{1}{2} m v_B^2 + mgh_B)$ \ $-f_{r,H} \cdot x_H = (0 + 0) - (\frac{1}{2} m v_B^2 + 0)$ \ $-f_{r,H} \cdot x_H = -\frac{1}{2} m v_B^2

Despejamos la distancia recorrida ( $x_H$ ):

x_H = \frac{\frac{1}{2} m v_B^2}{f_{r,H}} = \frac{\frac{1}{2} m v_B^2}{\mu_d m g} = \frac{v_B^2}{2 \mu_d g}

Sustituyendo los valores:

x_H = \frac{(20.62 \text{ m/s})^2}{2 \cdot 0.1 \cdot 9.8 \text{ m/s}^2} = \frac{425.1844 \text{ (m/s)}^2}{1.96 \text{ m/s}^2} \approx 216.93 \text{ m}

La distancia recorrida en el tramo horizontal hasta detenerse es de aproximadamente $216.93 \text{ m}$ .