T5: Probabilidad · Sucesos independientes y Teorema de Bayes — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andaluc%2525252525252525252525252525C3%2525252525252525252525252525ADa 2021

Sucesos independientes y Teorema de Bayes

Problema

2021 · Extraordinaria · Reserva

EJERCICIO 6

La probabilidad de que una persona sana se contagie de otra enferma por un virus es del 80% si coinciden en una reunión.

a) Si una persona enferma se reúne con dos personas sanas, teniendo en cuenta que contagiar a distintas personas son sucesos independientes entre sí, ¿cuál es la probabilidad de que se contagien las dos personas a la vez? ¿Cuál es la probabilidad de que se contagie alguna de ellas?b) Una prueba para detectar la enfermedad da el resultado correcto en el 90% de los casos cuando se le aplica a personas contagiadas y da falsos positivos en el 5% de los casos cuando se aplica a personas sanas. Si una persona sana se reúne con una enferma y resulta positivo en una prueba posterior, ¿qué probabilidad hay de que se haya contagiado en la reunión?

ProbabilidadSucesos independientesTeorema de Bayes

Ejercicio 6

Definimos el suceso I como que una persona sana se contagie, y el suceso NI como que no se contagie. La probabilidad de contagio es $P(I) = 0,80$ . Por lo tanto, la probabilidad de no contagio es $P(NI) = 1 - 0,80 = 0,20$ .

Consideremos a las dos personas sanas como Persona 1 (P1) y Persona 2 (P2). Dado que los sucesos son independientes, la probabilidad de que ambas se contagien es el producto de sus probabilidades individuales de contagio.Probabilidad de que se contagien las dos personas a la vez:

P(\text{P1 se contagia y P2 se contagia}) = P(\text{P1 se contagia}) \cdot P(\text{P2 se contagia})

P(\text{P1 se contagia y P2 se contagia}) = 0,80 \cdot 0,80 = 0,64

La probabilidad de que se contagie alguna de ellas (es decir, P1 o P2 o ambas) se puede calcular como $1$ menos la probabilidad de que ninguna de ellas se contagie.Probabilidad de que no se contagie P1: $P(\text{P1 no se contagia}) = 1 - 0,80 = 0,20$ .Probabilidad de que no se contagie P2: $P(\text{P2 no se contagia}) = 1 - 0,80 = 0,20$ .Probabilidad de que ninguna de ellas se contagie:

P(\text{Ninguna se contagia}) = P(\text{P1 no se contagia}) \cdot P(\text{P2 no se contagia})

P(\text{Ninguna se contagia}) = 0,20 \cdot 0,20 = 0,04

Probabilidad de que se contagie alguna de ellas:

P(\text{Alguna se contagie}) = 1 - P(\text{Ninguna se contagia})

P(\text{Alguna se contagie}) = 1 - 0,04 = 0,96

b) Una prueba para detectar la enfermedad da el resultado correcto en el 90% de los casos cuando se le aplica a personas contagiadas y da falsos positivos en el 5% de los casos cuando se aplica a personas sanas. Si una persona sana se reúne con una enferma y resulta positivo en una prueba posterior, ¿qué probabilidad hay de que se haya contagiado en la reunión?

Definimos los siguientes sucesos:I: La persona se contagia en la reunión. $P(I) = 0,80$ (según el enunciado del problema).NI: La persona no se contagia en la reunión. $P(NI) = 1 - P(I) = 1 - 0,80 = 0,20$ .Pos: La prueba da resultado positivo.Neg: La prueba da resultado negativo.Datos proporcionados por el problema sobre la prueba:

P(\text{Pos} | I) = 0,90 \quad (resultado correcto en contagiados)

P(\text{Pos} | NI) = 0,05 \quad (falso positivo en sanos)

Queremos calcular la probabilidad de que la persona se haya contagiado dado que ha dado positivo en la prueba, es decir, $P(I | \text{Pos})$ . Aplicamos el Teorema de Bayes.

P(I | \text{Pos}) = \frac{P(\text{Pos} | I) \cdot P(I)}{P(\text{Pos})}

Primero, calculamos la probabilidad total de que la prueba dé positivo, $P(\text{Pos})$ , usando el Teorema de la Probabilidad Total:

P(\text{Pos}) = P(\text{Pos} | I) \cdot P(I) + P(\text{Pos} | NI) \cdot P(NI)

P(\text{Pos}) = (0,90 \cdot 0,80) + (0,05 \cdot 0,20)

P(\text{Pos}) = 0,72 + 0,01

P(\text{Pos}) = 0,73

Ahora sustituimos este valor en la fórmula de Bayes para encontrar $P(I | \text{Pos})$ :

P(I | \text{Pos}) = \frac{0,90 \cdot 0,80}{0,73}

P(I | \text{Pos}) = \frac{0,72}{0,73}

P(I | \text{Pos}) \approx 0,9863

La probabilidad de que se haya contagiado en la reunión, dado que ha dado positivo en la prueba, es aproximadamente del $98,63 \%$ .