T1: Interacción gravitatoria · Energía mecánica y trabajo — FISICA PEvAU Andaluc%252525252525252525252525252525C3%252525252525252525252525252525ADa 2022

Energía mecánica y trabajo

Problema

2022 · Extraordinaria · Titular

A1-b

Un bloque de $2 \text{ kg}$ asciende con una velocidad inicial de $8 \text{ m/s}$ por un plano inclinado que forma un ángulo de $30^\circ$ con la horizontal hasta detenerse momentáneamente. A continuación, el bloque desciende hasta llegar al punto de partida. El coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano es $0,2$ .

b) Determine mediante consideraciones energéticas: i) la altura máxima a la que llega el bloque y ii) la velocidad con la que regresa el bloque al punto de partida.

Dato: $g = 9,8 \text{ m/s}^2$

plano inclinadorozamientoenergía mecánica

b) Para determinar la altura máxima y la velocidad de regreso, utilizaremos el principio de conservación de la energía mecánica generalizado para incluir el trabajo de las fuerzas no conservativas (en este caso, la fuerza de rozamiento).

\Delta E = E_{final} - E_{inicial} = W_{nc}

Donde $\Delta E$ es el cambio en la energía mecánica (suma de energía cinética $E_k$ y potencial gravitatoria $E_p$ ), y $W_{nc}$ es el trabajo realizado por las fuerzas no conservativas, que en este caso es el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento.

i) Altura máxima a la que llega el bloque.

Consideramos el movimiento del bloque desde el punto de partida (altura $h_1 = 0$ , velocidad $v_1 = 8 \text{ m/s}$ ) hasta la altura máxima $H_{max}$ (velocidad $v_2 = 0$ ). El diagrama de fuerzas para el ascenso es el siguiente:

Las energías en los estados inicial y final son:

E_{inicial} = E_{k1} + E_{p1} = \frac{1}{2}mv_1^2 + mgh_1

E_{final} = E_{k2} + E_{p2} = \frac{1}{2}mv_2^2 + mgH_{max}

La fuerza normal $N$ sobre el plano inclinado es $N = mg\cos\theta$ . La fuerza de rozamiento $f_r$ que se opone al movimiento de ascenso es $f_r = \mu N = \mu mg\cos\theta$ . Si $d$ es la distancia recorrida a lo largo del plano, el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento es negativo:

W_{fr} = -f_r d = -\mu mg\cos\theta \cdot d

La relación entre la distancia $d$ a lo largo del plano y la altura vertical $H_{max}$ es $H_{max} = d\sin\theta$ , por lo que $d = H_{max}/\sin\theta$ .Aplicando el principio de energía:

E_{final} - E_{inicial} = W_{fr}

(\frac{1}{2}mv_2^2 + mgH_{max}) - (\frac{1}{2}mv_1^2 + mgh_1) = -\mu mg\cos\theta \frac{H_{max}}{\sin\theta}

Sustituyendo $v_2 = 0$ y $h_1 = 0$ , y simplificando la masa $m$ :

gH_{max} - \frac{1}{2}v_1^2 = -\mu gH_{max}\cot\theta

gH_{max} + \mu gH_{max}\cot\theta = \frac{1}{2}v_1^2

H_{max} (g + \mu g\cot\theta) = \frac{1}{2}v_1^2

H_{max} = \frac{\frac{1}{2}v_1^2}{g(1 + \mu\cot\theta)} = \frac{v_1^2}{2g(1 + \mu\cot\theta)}

Datos: $m = 2 \text{ kg}$ , $v_1 = 8 \text{ m/s}$ , $\theta = 30^\circ$ , $\mu = 0.2$ , $g = 9.8 \text{ m/s}^2$ .

\cot 30^\circ = \frac{\cos 30^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3} \approx 1.73205

H_{max} = \frac{(8 \text{ m/s})^2}{2(9.8 \text{ m/s}^2)(1 + 0.2 \cdot 1.73205)} = \frac{64 \text{ m}^2/\text{s}^2}{19.6 \text{ m/s}^2 (1 + 0.34641)} = \frac{64}{19.6 \cdot 1.34641} \text{ m}

H_{max} = \frac{64}{26.3896} \text{ m} \approx 2.425 \text{ m}

ii) Velocidad con la que regresa el bloque al punto de partida.

Consideramos el movimiento del bloque desde la altura máxima $H_{max}$ (velocidad $v_3 = 0$ ) hasta el punto de partida (altura $h_4 = 0$ , velocidad $v_f$ ). La fuerza de rozamiento ahora se opone al movimiento de descenso, apuntando hacia arriba del plano. El diagrama de fuerzas para el descenso es:

Las energías en los estados inicial y final para el descenso son:

E_{inicial} = E_{k3} + E_{p3} = \frac{1}{2}mv_3^2 + mgH_{max}

E_{final} = E_{k4} + E_{p4} = \frac{1}{2}mv_f^2 + mgh_4

La distancia recorrida es la misma $d = H_{max}/\sin\theta$ . El trabajo de la fuerza de rozamiento es el mismo en magnitud, y sigue siendo negativo porque se opone al movimiento.

W_{fr} = -f_r d = -\mu mg\cos\theta \frac{H_{max}}{\sin\theta} = -\mu mgH_{max}\cot\theta

Aplicando el principio de energía:

E_{final} - E_{inicial} = W_{fr}

(\frac{1}{2}mv_f^2 + mgh_4) - (\frac{1}{2}mv_3^2 + mgH_{max}) = -\mu mgH_{max}\cot\theta

Sustituyendo $v_3 = 0$ y $h_4 = 0$ , y simplificando la masa $m$ :

\frac{1}{2}v_f^2 - gH_{max} = -\mu gH_{max}\cot\theta

\frac{1}{2}v_f^2 = gH_{max} - \mu gH_{max}\cot\theta

\begin{gathered} \frac{1}{2}v_f^2 = gH_{max}(1 - \mu\cot\theta) \\ v_f^2 = 2gH_{max}(1 - \mu\cot\theta) \\ v_f = \sqrt{2gH_{max}(1 - \mu\cot\theta)} \end{gathered}

Sustituyendo los valores numéricos y el valor de $H_{max} \approx 2.425 \text{ m}$ :

v_f = \sqrt{2(9.8 \text{ m/s}^2)(2.425 \text{ m})(1 - 0.2 \cdot 1.73205)}

v_f = \sqrt{2(9.8)(2.425)(1 - 0.34641)} \text{ m/s}

v_f = \sqrt{19.6 \cdot 2.425 \cdot 0.65359} \text{ m/s}

v_f = \sqrt{30.98} \text{ m/s} \approx 5.57 \text{ m/s}

También se puede expresar $v_f$ en función de $v_1$ utilizando la expresión de $H_{max}$ :

\begin{gathered} v_f^2 = 2g \left(\frac{v_1^2}{2g(1 + \mu\cot\theta)}\right) (1 - \mu\cot\theta) \\ v_f^2 = v_1^2 \frac{1 - \mu\cot\theta}{1 + \mu\cot\theta} \end{gathered}

v_f = v_1 \sqrt{\frac{1 - \mu\cot\theta}{1 + \mu\cot\theta}}

v_f = 8 \text{ m/s} \sqrt{\frac{1 - 0.2 \cdot 1.73205}{1 + 0.2 \cdot 1.73205}} = 8 \text{ m/s} \sqrt{\frac{0.65359}{1.34641}}

v_f = 8 \text{ m/s} \sqrt{0.48543} \approx 8 \text{ m/s} \cdot 0.69673 \approx 5.57 \text{ m/s}