T5: Integrales · Integrales definidas — MATEMATICAS II PEvAU Andaluc%25252525252525252525252525252525C3%25252525252525252525252525252525ADa 2022

Integrales definidas

Problema

2022 · Extraordinaria · Titular

Calcula la siguiente integral:

\int_{3}^{8} \frac{1}{\sqrt{1+x} - 1} dx

(Sugerencia: efectúa el cambio de variable $t = \sqrt{1+x} - 1$ .)

Cambio de variableIntegral definidaIrracionales

Se nos pide calcular la integral definida:

\int_{3}^{8} \frac{1}{\sqrt{1+x} - 1} dx

Para resolverla, utilizaremos el cambio de variable sugerido: $t = \sqrt{1+x} - 1$ .

a) Despejar

x

y calcular

dx

en función de

t

dt

De la expresión $t = \sqrt{1+x} - 1$ , despejamos $\sqrt{1+x}$ :

t+1 = \sqrt{1+x}

Elevamos ambos lados al cuadrado:

(t+1)^2 = 1+x

Finalmente, despejamos $x$ :

x = (t+1)^2 - 1

Ahora, calculamos el diferencial $dx$ derivando $x$ con respecto a $t$ :

\frac{dx}{dt} = 2(t+1) \cdot 1 \implies dx = 2(t+1) dt

b) Modificar los límites de integración.

Cuando $x=3$ , el nuevo límite inferior $t_1$ es:

t_1 = \sqrt{1+3} - 1 = \sqrt{4} - 1 = 2 - 1 = 1

Cuando $x=8$ , el nuevo límite superior $t_2$ es:

t_2 = \sqrt{1+8} - 1 = \sqrt{9} - 1 = 3 - 1 = 2

c) Realizar la sustitución en la integral y calcularla.

Sustituimos $1/(\sqrt{1+x}-1)$ por $1/t$ y $dx$ por $2(t+1)dt$ con los nuevos límites:

\int_{1}^{2} \frac{1}{t} \cdot 2(t+1) dt = \int_{1}^{2} \frac{2(t+1)}{t} dt

Simplificamos el integrando:

\int_{1}^{2} \left( \frac{2t}{t} + \frac{2}{t} \right) dt = \int_{1}^{2} \left( 2 + \frac{2}{t} \right) dt

Ahora, integramos:

\left[ 2t + 2\ln|t| \right]_{1}^{2}

Evaluamos la expresión en los límites superior e inferior:

(2(2) + 2\ln(2)) - (2(1) + 2\ln(1))

Sabemos que $\ln(1) = 0$ :

(4 + 2\ln(2)) - (2 + 0)

4 + 2\ln(2) - 2

2 + 2\ln(2)

El resultado final de la integral es:

2 + 2\ln(2)