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T5: Física moderna
Longitud de onda de De Broglie y diferencia de potencial
Problema
2026 · Extraordinaria · Titular
D-b2
Examen
b2) Un núcleo de helio se acelera aplicando una diferencia de potencial, siendo su longitud de onda de De Broglie 3⋅10−11 m3 \cdot 10^{-11} \text{ m}. Calcule razonadamente: i) la velocidad y la energía cinética del núcleo de helio; ii) la diferencia de potencial aplicada.

Datos:

h = 6,63 \cdot 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}$, $e = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}$, $m_{He} = 6,64 \cdot 10^{-27} \text{ kg}
Longitud de onda de De BroglieEnergía cinéticaDiferencia de potencial+1
i) la velocidad y la energía cinética del núcleo de helio

La longitud de onda de De Broglie viene dada por la expresión:

λ=hp=hmv\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{m v}

Donde hh es la constante de Planck, mm es la masa del núcleo de helio y vv es su velocidad. Despejando la velocidad vv:

v=hmHe⋅λv = \frac{h}{m_{He} \cdot \lambda}

Sustituyendo los valores proporcionados:

v=6,63⋅10−34 J⋅s(6,64⋅10−27 kg)⋅(3⋅10−11 m)=6,63⋅10−3419,92⋅10−38 m/sv = \frac{6,63 \cdot 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}}{(6,64 \cdot 10^{-27} \text{ kg}) \cdot (3 \cdot 10^{-11} \text{ m})} = \frac{6,63 \cdot 10^{-34}}{19,92 \cdot 10^{-38}} \text{ m/s}
v≈3328,31 m/sv \approx 3328,31 \text{ m/s}

La energía cinética EcE_c de una partícula se calcula con la fórmula clásica:

Ec=12mHev2E_c = \frac{1}{2} m_{He} v^2

Sustituyendo la masa del núcleo de helio y la velocidad calculada:

Ec=12(6,64⋅10−27 kg)(3328,31 m/s)2E_c = \frac{1}{2} (6,64 \cdot 10^{-27} \text{ kg}) (3328,31 \text{ m/s})^2
Ec=12(6,64⋅10−27)(1,10777⋅107) JE_c = \frac{1}{2} (6,64 \cdot 10^{-27}) (1,10777 \cdot 10^7) \text{ J}
Ec≈3,678⋅10−20 JE_c \approx 3,678 \cdot 10^{-20} \text{ J}
ii) la diferencia de potencial aplicada

La energía cinética ganada por el núcleo de helio al ser acelerado por una diferencia de potencial ΔV\Delta V es igual al trabajo realizado por el campo eléctrico, que se expresa como:

Ec=q⋅ΔVE_c = q \cdot \Delta V

Donde qq es la carga del núcleo de helio. Un núcleo de helio (partícula alfa) tiene 2 protones, por lo tanto, su carga es q=2eq = 2e.

q=2⋅(1,6⋅10−19 C)=3,2⋅10−19 Cq = 2 \cdot (1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}) = 3,2 \cdot 10^{-19} \text{ C}

Despejando la diferencia de potencial ΔV\Delta V:

ΔV=Ecq\Delta V = \frac{E_c}{q}

Sustituyendo la energía cinética calculada y la carga del núcleo de helio:

ΔV=3,678⋅10−20 J3,2⋅10−19 C\Delta V = \frac{3,678 \cdot 10^{-20} \text{ J}}{3,2 \cdot 10^{-19} \text{ C}}
ΔV≈0,1149 V\Delta V \approx 0,1149 \text{ V}