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T1: Interacción gravitatoria
Campo gravitatorio, Trabajo gravitatorio
Problema
2026 · Ordinaria · Suplente
A-b1
Examen
b1) Dos masas puntuales m1=m2=3 kgm_1 = m_2 = 3 \text{ kg} están situadas en los puntos A(0,2) m\text{A}(0,2) \text{ m} y B(0,−2) m\text{B}(0,-2) \text{ m}. i) Represente gráficamente los campos creados por cada masa y el campo total en el punto C(3,0) m\text{C}(3,0) \text{ m}, y calcule el campo gravitatorio total en dicho punto. ii) Determine el trabajo realizado por el campo gravitatorio cuando se traslada una tercera masa de 1,5 kg1,5 \text{ kg} desde el punto C\text{C} hasta el infinito.

G = 6,67⋅10−11 N⋅m2/kg26,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{kg}^2

Imagen del ejercicio
Campo gravitatorioTrabajoPotencial+1
b1) i) Representación gráfica de los campos y cálculo del campo gravitatorio total en C.

Las masas m1=3 kgm_1 = 3 \text{ kg} y m2=3 kgm_2 = 3 \text{ kg} están situadas en los puntos A(0,2) mA(0,2) \text{ m} y B(0,−2) mB(0,-2) \text{ m} respectivamente. El punto CC donde se calcula el campo gravitatorio es (3,0) m(3,0) \text{ m}. El campo gravitatorio g⃗\vec{g} en un punto P debido a una masa M es un vector que apunta de P hacia M. Su módulo es g=GMr2g = G \frac{M}{r^2}, donde rr es la distancia de M a P. Vectorialmente, g⃗=−GMr2u^r\vec{g} = -G \frac{M}{r^2} \hat{u}_r, donde u^r\hat{u}_r es el vector unitario que va desde la masa M al punto P.

XYmm1 (0,2)mm2 (0,-2)C (3,0)g1g2g_neta

Cálculo de los vectores posición desde cada masa al punto C:

r⃗1=C⃗−A⃗=(3−0)i⃗+(0−2)j⃗=(3i⃗−2j⃗) m\vec{r}_1 = \vec{C} - \vec{A} = (3-0)\vec{i} + (0-2)\vec{j} = (3\vec{i} - 2\vec{j}) \text{ m}
r1=∣r⃗1∣=32+(−2)2=9+4=13 mr_1 = |\vec{r}_1| = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{9+4} = \sqrt{13} \text{ m}
r⃗2=C⃗−B⃗=(3−0)i⃗+(0−(−2))j⃗=(3i⃗+2j⃗) m\vec{r}_2 = \vec{C} - \vec{B} = (3-0)\vec{i} + (0-(-2))\vec{j} = (3\vec{i} + 2\vec{j}) \text{ m}
r2=∣r⃗2∣=32+22=9+4=13 mr_2 = |\vec{r}_2| = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9+4} = \sqrt{13} \text{ m}

Los vectores unitarios en la dirección de r⃗1\vec{r}_1 y r⃗2\vec{r}_2 son:

u^1=r⃗1r1=(3i⃗−2j⃗)13\hat{u}_1 = \frac{\vec{r}_1}{r_1} = \frac{(3\vec{i} - 2\vec{j})}{\sqrt{13}}
u^2=r⃗2r2=(3i⃗+2j⃗)13\hat{u}_2 = \frac{\vec{r}_2}{r_2} = \frac{(3\vec{i} + 2\vec{j})}{\sqrt{13}}

El campo gravitatorio creado por cada masa en el punto C se calcula mediante la fórmula g⃗=−GMr2u^r\vec{g} = -G \frac{M}{r^2} \hat{u}_r. Sustituyendo los valores (G=6,67⋅10−11 N⋅m2/kg2G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{kg}^2, m1=m2=3 kgm_1 = m_2 = 3 \text{ kg}, r1=r2=13 mr_1 = r_2 = \sqrt{13} \text{ m}):

g⃗1=−6,67⋅10−11 N⋅m2/kg2⋅3 kg(13 m)2⋅(3i⃗−2j⃗)13\vec{g}_1 = -6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{kg}^2 \cdot \frac{3 \text{ kg}}{(\sqrt{13} \text{ m})^2} \cdot \frac{(3\vec{i} - 2\vec{j})}{\sqrt{13}}
g⃗1=−6,67⋅10−1131313(3i⃗−2j⃗) N/kg\vec{g}_1 = -6,67 \cdot 10^{-11} \frac{3}{13\sqrt{13}} (3\vec{i} - 2\vec{j}) \text{ N/kg}
g⃗2=−6,67⋅10−11 N⋅m2/kg2⋅3 kg(13 m)2⋅(3i⃗+2j⃗)13\vec{g}_2 = -6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{kg}^2 \cdot \frac{3 \text{ kg}}{(\sqrt{13} \text{ m})^2} \cdot \frac{(3\vec{i} + 2\vec{j})}{\sqrt{13}}
g⃗2=−6,67⋅10−1131313(3i⃗+2j⃗) N/kg\vec{g}_2 = -6,67 \cdot 10^{-11} \frac{3}{13\sqrt{13}} (3\vec{i} + 2\vec{j}) \text{ N/kg}

El campo gravitatorio total en C es la suma vectorial de g⃗1\vec{g}_1 y g⃗2\vec{g}_2:

g⃗total=g⃗1+g⃗2=−6,67⋅10−1131313[(3i⃗−2j⃗)+(3i⃗+2j⃗)]\vec{g}_{total} = \vec{g}_1 + \vec{g}_2 = -6,67 \cdot 10^{-11} \frac{3}{13\sqrt{13}} [(3\vec{i} - 2\vec{j}) + (3\vec{i} + 2\vec{j})]
g⃗total=−6,67⋅10−1131313(6i⃗)\vec{g}_{total} = -6,67 \cdot 10^{-11} \frac{3}{13\sqrt{13}} (6\vec{i})
g⃗total=−6,67⋅10−11181313i⃗\vec{g}_{total} = -6,67 \cdot 10^{-11} \frac{18}{13\sqrt{13}} \vec{i}
g⃗total=−6,67⋅10−111846,872i⃗\vec{g}_{total} = -6,67 \cdot 10^{-11} \frac{18}{46,872} \vec{i}
g⃗total=−2,56⋅10−11i⃗ N/kg\vec{g}_{total} = -2,56 \cdot 10^{-11} \vec{i} \text{ N/kg}
b1) ii) Trabajo realizado por el campo gravitatorio.

El trabajo realizado por el campo gravitatorio para trasladar una masa m3=1,5 kgm_3 = 1,5 \text{ kg} desde el punto C hasta el infinito se calcula como la diferencia de la energía potencial gravitatoria:

WC→∞=UC−U∞W_{C \to \infty} = U_C - U_{\infty}

Considerando que la energía potencial gravitatoria en el infinito es U∞=0U_{\infty} = 0 por convenio, la expresión se simplifica a:

WC→∞=UCW_{C \to \infty} = U_C

La energía potencial en el punto C para la masa m3m_3 es UC=m3VCU_C = m_3 V_C, donde VCV_C es el potencial gravitatorio en el punto C debido a las masas m1m_1 y m2m_2.

VC=VC1+VC2=−Gm1r1−Gm2r2V_C = V_{C1} + V_{C2} = -G \frac{m_1}{r_1} - G \frac{m_2}{r_2}

Sustituyendo los valores (G=6,67⋅10−11 N⋅m2/kg2G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{kg}^2, m1=m2=3 kgm_1 = m_2 = 3 \text{ kg}, r1=r2=13 mr_1 = r_2 = \sqrt{13} \text{ m}):

VC=−6,67⋅10−113 kg13 m−6,67⋅10−113 kg13 mV_C = -6,67 \cdot 10^{-11} \frac{3 \text{ kg}}{\sqrt{13} \text{ m}} - 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{3 \text{ kg}}{\sqrt{13} \text{ m}}
VC=−2⋅6,67⋅10−11313V_C = -2 \cdot 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{3}{\sqrt{13}}
VC=−6,67⋅10−11613V_C = -6,67 \cdot 10^{-11} \frac{6}{\sqrt{13}}
VC=−6,67⋅10−1163,60555V_C = -6,67 \cdot 10^{-11} \frac{6}{3,60555}
VC=−1,11⋅10−10 J/kgV_C = -1,11 \cdot 10^{-10} \text{ J/kg}

Finalmente, calculamos el trabajo realizado por el campo gravitatorio para trasladar la masa m3=1,5 kgm_3 = 1,5 \text{ kg}:

WC→∞=m3VCW_{C \to \infty} = m_3 V_C
WC→∞=1,5 kg⋅(−1,11⋅10−10 J/kg)W_{C \to \infty} = 1,5 \text{ kg} \cdot (-1,11 \cdot 10^{-10} \text{ J/kg})
WC→∞=−1,66⋅10−10 JW_{C \to \infty} = -1,66 \cdot 10^{-10} \text{ J}