La función de costes es $f(x) = x^2 - 6x + 10$. Para encontrar el mínimo, calculamos la primera derivada y la igualamos a cero.

Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos:

Para confirmar que es un mínimo, calculamos la segunda derivada:

Dado que $f''(x) = 2 > 0$, el punto crítico $x=3$ corresponde a un mínimo.La producción semanal para que el coste sea mínimo debe ser de $3$ miles de kilogramos.El coste mínimo se obtiene sustituyendo $x=3$ en la función de costes:

El coste mínimo es de $1$ mil de euros.

La ecuación de la recta tangente en un punto $(x_0, f(x_0))$ es $y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$.Para $x_0 = 4$, primero calculamos $f(4)$:

Ahora, calculamos la pendiente de la recta tangente, que es $f'(4)$:

Sustituimos estos valores en la ecuación de la recta tangente:

Desarrollando la ecuación, obtenemos:

La ecuación de la recta tangente a la función de costes en $x = 4$ es $y = 2x - 6$.Representación gráfica:La función de costes $f(x) = x^2 - 6x + 10$ es una parábola que se abre hacia arriba. Su vértice (mínimo) está en $(3, 1)$. Intersecta el eje y en $f(0) = 10$. No tiene raíces reales, ya que el discriminante es negativo ($(-6)^2 - 4(1)(10) = 36 - 40 = -4$). Otros puntos de referencia podrían ser $f(1) = 5$, $f(2) = 2$, $f(4) = 2$, $f(5) = 5$.La recta tangente $y = 2x - 6$ pasa por el punto $(4, 2)$ y tiene una pendiente de $2$. Intercepta el eje y en $(0, -6)$ y el eje x en $(3, 0)$.Para la representación gráfica, se dibuja la parábola con su vértice en $(3,1)$ y se traza la línea recta $y = 2x - 6$ que pasa por el punto $(4,2)$ y es tangente a la parábola en ese punto.