T3: Geometría · Métrica en el espacio — MATEMATICAS II PEvAU Andaluc%2525252525252525252525252525252525C3%2525252525252525252525252525252525ADa 2022

Métrica en el espacio

Problema

2022 · Ordinaria · Suplente

EJERCICIO 8

Sean los planos $\pi_1 \equiv 2x + y + z - 3 = 0, \pi_2 \equiv x + 2y - z + 5 = 0$ y la recta $r \equiv x - 1 = \frac{y}{2} = \frac{z + 1}{5}$ .

a) Halla los puntos de

r

que equidistan de

\pi_1

\pi_2

.b) Halla el seno del ángulo que forma el plano

\pi_1

con la recta

r

EquidistanciaÁngulosRectas y planos

a) Halla los puntos de

r

que equidistan de

\pi_1

\pi_2

Primero, expresamos la recta $r$ en su forma paramétrica. La recta $r$ viene dada por $x - 1 = \frac{y}{2} = \frac{z + 1}{5}$ . Igualando a un parámetro $\lambda$ , obtenemos las ecuaciones paramétricas:

x = 1 + \lambda \\ y = 2\lambda \\ z = -1 + 5\lambda

Un punto genérico $P$ de la recta $r$ es $P(1 + \lambda, 2\lambda, -1 + 5\lambda)$ . La distancia de un punto $P_0(x_0, y_0, z_0)$ a un plano $Ax + By + Cz + D = 0$ viene dada por la fórmula:

d(P_0, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}

Calculamos la distancia de $P$ al plano $\pi_1 \equiv 2x + y + z - 3 = 0$ :

d(P, \pi_1) = \frac{|2(1 + \lambda) + (2\lambda) + (-1 + 5\lambda) - 3|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2}}

d(P, \pi_1) = \frac{|2 + 2\lambda + 2\lambda - 1 + 5\lambda - 3|}{\sqrt{4 + 1 + 1}}

d(P, \pi_1) = \frac{|9\lambda - 2|}{\sqrt{6}}

Ahora, calculamos la distancia de $P$ al plano $\pi_2 \equiv x + 2y - z + 5 = 0$ :

d(P, \pi_2) = \frac{|(1 + \lambda) + 2(2\lambda) - (-1 + 5\lambda) + 5|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-1)^2}}

d(P, \pi_2) = \frac{|1 + \lambda + 4\lambda + 1 - 5\lambda + 5|}{\sqrt{1 + 4 + 1}}

d(P, \pi_2) = \frac{|7|}{\sqrt{6}}

Los puntos que equidistan de ambos planos cumplen que $d(P, \pi_1) = d(P, \pi_2)$ :

\frac{|9\lambda - 2|}{\sqrt{6}} = \frac{|7|}{\sqrt{6}}

|9\lambda - 2| = |7|

Esto nos da dos posibles casos:Caso 1: $9\lambda - 2 = 7$

9\lambda = 9 \implies \lambda = 1

Sustituyendo $\lambda = 1$ en las ecuaciones paramétricas de la recta, obtenemos el punto $P_1$ :

x = 1 + 1 = 2 \\ y = 2(1) = 2 \\ z = -1 + 5(1) = 4

Así, el primer punto es $P_1(2, 2, 4)$ .Caso 2: $9\lambda - 2 = -7$

9\lambda = -5 \implies \lambda = -\frac{5}{9}

Sustituyendo $\lambda = -\frac{5}{9}$ en las ecuaciones paramétricas de la recta, obtenemos el punto $P_2$ :

x = 1 + \left(-\frac{5}{9}\right) = \frac{4}{9} \\ y = 2\left(-\frac{5}{9}\right) = -\frac{10}{9} \\ z = -1 + 5\left(-\frac{5}{9}\right) = -1 - \frac{25}{9} = -\frac{34}{9}

Así, el segundo punto es $P_2\left(\frac{4}{9}, -\frac{10}{9}, -\frac{34}{9}\right)$ .

b) Halla el seno del ángulo que forma el plano

\pi_1

con la recta

r

El ángulo $\alpha$ que forma una recta con un plano se puede calcular usando la fórmula del seno, que relaciona el vector director de la recta $\vec{v}$ y el vector normal del plano $\vec{n}$ :

\sin \alpha = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{||\vec{v}|| \cdot ||\vec{n}||}

De la ecuación paramétrica de la recta $r$ , su vector director es $\vec{v} = (1, 2, 5)$ .Del plano $\pi_1 \equiv 2x + y + z - 3 = 0$ , su vector normal es $\vec{n}_1 = (2, 1, 1)$ .Calculamos el producto escalar $\vec{v} \cdot \vec{n}_1$ :

\vec{v} \cdot \vec{n}_1 = (1)(2) + (2)(1) + (5)(1) = 2 + 2 + 5 = 9

Calculamos los módulos de los vectores:

||\vec{v}|| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 4 + 25} = \sqrt{30}

||\vec{n}_1|| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}

Sustituimos estos valores en la fórmula del seno del ángulo:

\sin \alpha = \frac{|9|}{\sqrt{30} \cdot \sqrt{6}}

\sin \alpha = \frac{9}{\sqrt{180}}

Simplificamos la raíz cuadrada $\sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5}$ :

\sin \alpha = \frac{9}{6\sqrt{5}}

Simplificamos la fracción y racionalizamos el denominador:

\sin \alpha = \frac{3}{2\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{2\sqrt{5}\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{10}

El seno del ángulo que forma el plano $\pi_1$ con la recta $r$ es $\frac{3\sqrt{5}}{10}$ .