T3: Programación lineal · Planteamiento y optimización gráfica — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andaluc%2525252525252525252525252525252525C3%2525252525252525252525252525252525ADa 2020

Planteamiento y optimización gráfica

Problema

2020 · Ordinaria · Titular

a) Una fábrica de electrodomésticos dispone de dos cadenas de montaje. En una hora de trabajo, la cadena A produce 10 lavadoras y 5 frigoríficos, mientras que la cadena B produce 7 lavadoras y 6 frigoríficos. El coste de cada hora de trabajo en las cadenas A y B es de 1200 y 1500 euros, respectivamente. La cadena A puede funcionar, como máximo, el doble de horas que la cadena B. Si deben producir como mínimo 400 lavadoras y 280 frigoríficos, formule, sin resolver, el problema que permite obtener las horas de funcionamiento de las cadenas A y B para minimizar el coste de producción de esos electrodomésticos.b) Represente el recinto definido por las siguientes inecuaciones y calcule sus vértices:

x + 2y \geq 7, \quad 4x - y \geq 1, \quad 2x - y \leq 4, \quad 3x + 2y \leq 20, \quad x \geq 0, \quad y \geq 0

Obtenga el valor mínimo de la función

F(x, y) = 2x + y

en el recinto anterior, así como el punto en el que se alcanza.

Programación linealOptimizaciónMinimización+1

a) En primer lugar, definimos las variables de decisión del problema:

$x$ : número de horas de funcionamiento de la cadena A. $y$ : número de horas de funcionamiento de la cadena B.A continuación, establecemos la función objetivo, que consiste en minimizar el coste total de producción:

Minizar \quad Z = 1200x + 1500y

Sujeto a las siguientes restricciones basadas en la producción mínima y las horas de funcionamiento:Producción de lavadoras: $10x + 7y \geq 400$ Producción de frigoríficos: $5x + 6y \geq 280$ Límite de horas (A respecto a B): $x \leq 2y$ No negatividad: $x \geq 0, \quad y \geq 0$

b) Para representar el recinto, primero identificamos las rectas asociadas a cada inecuación y calculamos los puntos de intersección que conforman los vértices del polígono de soluciones factibles:

Las rectas que delimitan la región son: $r_1: x + 2y = 7$ $r_2: 4x - y = 1$ $r_3: 2x - y = 4$ $r_4: 3x + 2y = 20$ Calculamos los vértices resolviendo los sistemas de ecuaciones correspondientes:Vértice $A$ (intersección $r_1$ y $r_2$ ): $\begin{cases} x + 2y = 7 \\ 4x - y = 1 \end{cases} \Rightarrow x + 2(4x - 1) = 7 \Rightarrow 9x = 9 \Rightarrow x = 1, y = 3 \Rightarrow A(1, 3)$ Vértice $B$ (intersección $r_2$ y $r_4$ ): $\begin{cases} 4x - y = 1 \\ 3x + 2y = 20 \end{cases} \Rightarrow 3x + 2(4x - 1) = 20 \Rightarrow 11x = 22 \Rightarrow x = 2, y = 7 \Rightarrow B(2, 7)$ Vértice $C$ (intersección $r_4$ y $r_3$ ): $\begin{cases} 3x + 2y = 20 \\ 2x - y = 4 \end{cases} \Rightarrow 3x + 2(2x - 4) = 20 \Rightarrow 7x = 28 \Rightarrow x = 4, y = 4 \Rightarrow C(4, 4)$ Vértice $D$ (intersección $r_3$ y $r_1$ ): $\begin{cases} 2x - y = 4 \\ x + 2y = 7 \end{cases} \Rightarrow x + 2(2x - 4) = 7 \Rightarrow 5x = 15 \Rightarrow x = 3, y = 2 \Rightarrow D(3, 2)$

Evaluamos la función objetivo $F(x, y) = 2x + y$ en cada uno de los vértices hallados para encontrar el valor mínimo: $F(1, 3) = 2(1) + 3 = 5$ $F(2, 7) = 2(2) + 7 = 11$ $F(4, 4) = 2(4) + 4 = 12$ $F(3, 2) = 2(3) + 2 = 8$ El valor mínimo de la función es 5 y se alcanza en el punto $(1, 3)$ .