T7: Distribución binomial · Cálculo de probabilidades en binomial — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andaluc%2525252525252525252525252525252525C3%2525252525252525252525252525252525ADa 2025

Cálculo de probabilidades en binomial

Problema

2025 · Ordinaria · Reserva

Un tratamiento experimental para tratar una determinada intolerancia alimentaria mejora al $60\%$ de los pacientes a los que se les suministra. Cinco pacientes deciden someterse a dicho tratamiento.

a) Indique la distribución que sigue la variable “número de pacientes de entre los 5 que mejoran con este tratamiento”. ¿Cuál es la probabilidad de que mejoren cuatro pacientes gracias al tratamiento?b) Calcule la probabilidad de que al menos dos pacientes experimenten mejoría tras someterse al tratamiento.c) ¿Cuántos pacientes se espera que mejoren al someterse a ese tratamiento?d) ¿Cuántos pacientes deberían someterse al tratamiento para que el número esperado de pacientes que mejoren sea mayor o igual a 12?

BinomialEsperanza matemáticaProbabilidad

La variable $X$ = "número de pacientes de entre los 5 que mejoran con este tratamiento" sigue una distribución binomial, ya que se trata de un número fijo de ensayos independientes (5 pacientes), cada uno con dos resultados posibles (mejora o no mejora) y con una probabilidad de éxito constante.

X \sim B(n, p)

Donde: $n = 5$ (número de pacientes) $p = 0.6$ (probabilidad de que un paciente mejore, el 60%)Por lo tanto, la distribución es:

X \sim B(5, 0.6)

Para calcular la probabilidad de que mejoren cuatro pacientes, usamos la fórmula de probabilidad binomial:

P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

Sustituyendo $n=5$ , $k=4$ y $p=0.6$ :

P(X=4) = \binom{5}{4} (0.6)^4 (1-0.6)^{5-4}

P(X=4) = \binom{5}{4} (0.6)^4 (0.4)^1

P(X=4) = 5 \cdot (0.1296) \cdot (0.4)

P(X=4) = 5 \cdot 0.05184

P(X=4) = 0.2592

b) Calcule la probabilidad de que al menos dos pacientes experimenten mejoría tras someterse al tratamiento.

La probabilidad de que al menos dos pacientes mejoren es $P(X \ge 2)$ . Podemos calcularla como $1 - P(X < 2)$ .

P(X \ge 2) = 1 - [P(X=0) + P(X=1)]

Calculamos $P(X=0)$ :

P(X=0) = \binom{5}{0} (0.6)^0 (0.4)^5

P(X=0) = 1 \cdot 1 \cdot 0.01024

P(X=0) = 0.01024

Calculamos $P(X=1)$ :

P(X=1) = \binom{5}{1} (0.6)^1 (0.4)^4

P(X=1) = 5 \cdot (0.6) \cdot (0.0256)

P(X=1) = 5 \cdot 0.01536

P(X=1) = 0.0768

Ahora sumamos estas probabilidades y las restamos de 1:

P(X \ge 2) = 1 - [0.01024 + 0.0768]

P(X \ge 2) = 1 - 0.08704

P(X \ge 2) = 0.91296

c) ¿Cuántos pacientes se espera que mejoren al someterse a ese tratamiento?

El número esperado de pacientes que mejoran en una distribución binomial se calcula con la fórmula $E(X) = n \cdot p$ .

E(X) = 5 \cdot 0.6

E(X) = 3

Se espera que 3 pacientes mejoren.

d) ¿Cuántos pacientes deberían someterse al tratamiento para que el número esperado de pacientes que mejoren sea mayor o igual a 12?

Sea $N$ el nuevo número de pacientes. La probabilidad de éxito $p$ sigue siendo $0.6$ . Queremos que el número esperado de pacientes que mejoren sea mayor o igual a 12.

E(X) = N \cdot p

N \cdot 0.6 \ge 12

N \ge \frac{12}{0.6}

N \ge 20

Al menos 20 pacientes deberían someterse al tratamiento para que el número esperado de pacientes que mejoren sea mayor o igual a 12.