T3: Vibraciones y ondas · Energías en Movimiento Armónico Simple (MAS) — FISICA PEvAU Andaluc%2525252525252525252525252525252525C3%2525252525252525252525252525252525ADa 2026

Energías en Movimiento Armónico Simple (MAS)

Teoría

2026 · Extraordinaria · Titular

C-a

a) i) Represente gráficamente, en función de la posición, las energías cinética, potencial y mecánica de una partícula que vibra con movimiento armónico simple. ii) ¿Se duplicaría la energía mecánica de la partícula si se duplicase la frecuencia angular del movimiento armónico simple? Razone la respuesta.

Movimiento armónico simpleEnergía cinéticaEnergía potencial+2

a) i) Representación gráfica de las energías cinética, potencial y mecánica en función de la posición para una partícula en movimiento armónico simple.

La posición de una partícula que vibra con movimiento armónico simple viene dada por $x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$ , donde $A$ es la amplitud máxima, $\omega$ la frecuencia angular y $\phi$ la fase inicial. La velocidad de la partícula es $v(t) = -A\omega \sin(\omega t + \phi)$ . En términos de la posición $x$ , la velocidad al cuadrado se expresa como $v^2 = \omega^2(A^2 - x^2)$ . Las expresiones para las energías son:

E_c = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m\omega^2(A^2 - x^2)

E_p = \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}m\omega^2 x^2

E_m = E_c + E_p = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2

La representación gráfica de estas energías en función de la posición $x$ (con el origen $x=0$ en la posición de equilibrio) es la siguiente:1. Energía potencial ( $E_p$ ): Se representa como una parábola simétrica con su mínimo (cero) en la posición de equilibrio ( $x=0$ ) y sus máximos en los extremos de la trayectoria ( $x = \pm A$ ). La función $E_p(x)$ tiene la forma de una parábola que se abre hacia arriba.2. Energía cinética ( $E_c$ ): Se representa como una parábola invertida, con su máximo en la posición de equilibrio ( $x=0$ ) y sus mínimos (cero) en los extremos de la trayectoria ( $x = \pm A$ ). La función $E_c(x)$ tiene la forma de una parábola que se abre hacia abajo.3. Energía mecánica ( $E_m$ ): Al ser un movimiento armónico simple ideal (sin rozamiento), la energía mecánica se conserva. Por lo tanto, se representa como una línea horizontal constante para cualquier posición $x$ entre $-A$ y $+A$ . La suma de la energía cinética y la potencial en cualquier punto siempre es igual a la energía mecánica total.

a) ii) ¿Se duplicaría la energía mecánica de la partícula si se duplicase la frecuencia angular del movimiento armónico simple? Razone la respuesta.

La energía mecánica total de una partícula que vibra con movimiento armónico simple viene dada por la expresión:

E_m = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2

Donde $m$ es la masa de la partícula, $\omega$ es la frecuencia angular y $A$ es la amplitud del movimiento. Observamos que la energía mecánica es directamente proporcional al cuadrado de la frecuencia angular ( $\omega^2$ ) y al cuadrado de la amplitud ( $A^2$ ).Si la frecuencia angular ( $\omega$ ) se duplicase (es decir, $\omega' = 2\omega$ ), y asumiendo que la masa $m$ y la amplitud $A$ permanecen constantes, la nueva energía mecánica $E_m'$ sería:

E_m' = \frac{1}{2}m(\omega')^2 A^2 = \frac{1}{2}m(2\omega)^2 A^2 = \frac{1}{2}m(4\omega^2)A^2 = 4 \left( \frac{1}{2}m\omega^2 A^2 \right) = 4E_m

Por lo tanto, si se duplicase la frecuencia angular del movimiento armónico simple, la energía mecánica de la partícula se cuadruplicaría, no se duplicaría.