La ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función en el punto de abscisa $x = a$ viene dada por la expresión $y - f(a) = f'(a)(x - a)$.Del enunciado sabemos que la gráfica de $f$ pasa por el punto $(1, 3)$, por lo tanto sabemos que $f(1) = 3$. La pendiente de la recta tangente es el valor de la derivada en dicho punto:

Sustituyendo el punto $(1, 3)$ y la pendiente $m = -4$ en la ecuación punto-pendiente:

Para estudiar la monotonía, buscamos los puntos críticos de la función igualando su derivada a cero:

Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por el punto crítico $x = 3$:En el intervalo $(-\infty, 3)$, evaluamos en $x = 0$: $f'(0) = 2(0) - 6 = -6 < 0$. Por tanto, la función es decreciente en $(-\infty, 3)$.En el intervalo $(3, +\infty)$, evaluamos en $x = 4$: $f'(4) = 2(4) - 6 = 2 > 0$. Por tanto, la función es creciente en $(3, +\infty)$.Dado que la función pasa de ser decreciente a creciente en $x = 3$, existe un mínimo relativo en dicho punto.

Calculamos la primitiva de la función derivada $f'(x)$ mediante integración:

Para hallar el valor de la constante $C$, utilizamos el dato de que la función pasa por el punto $(1, 3)$:

La función buscada es $f(x) = x^2 - 6x + 8$. Para su representación gráfica, identificamos los elementos de la parábola:Vértice: Se encuentra en el punto de mínimo hallado en el apartado anterior. La ordenada es $f(3) = 3^2 - 6(3) + 8 = 9 - 18 + 8 = -1$. El vértice es $(3, -1)$.Puntos de corte con el eje $X$: Resolvemos $x^2 - 6x + 8 = 0$. Aplicando la fórmula cuadrática obtenemos $x = 2$ y $x = 4$. Los puntos son $(2, 0)$ y $(4, 0)$.Punto de corte con el eje $Y$: Calculamos $f(0) = 8$. El punto es $(0, 8)$.