La función $f(x) = x^2 + |x - 1|$ se puede expresar como una función a trozos debido al valor absoluto. Analizamos el signo de $(x - 1)$:Si $x - 1 \ge 0$, es decir, $x \ge 1$, entonces $|x - 1| = x - 1$. La función es $f(x) = x^2 + (x - 1) = x^2 + x - 1$.Si $x - 1 < 0$, es decir, $x < 1$, entonces $|x - 1| = -(x - 1) = 1 - x$. La función es $f(x) = x^2 + (1 - x) = x^2 - x + 1$.Por lo tanto, la función $f(x)$ se define como:

Para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, calculamos la primera derivada de la función $f(x)$:

La función $f(x)$ es continua en $x=1$, ya que $\lim_{x \to 1^-} (x^2 - x + 1) = 1 - 1 + 1 = 1$ y $\lim_{x \to 1^+} (x^2 + x - 1) = 1 + 1 - 1 = 1$. Sin embargo, la derivada no es continua en $x=1$ porque $f'(1^-) = 2(1) - 1 = 1$ y $f'(1^+) = 2(1) + 1 = 3$. Por lo tanto, $x=1$ es un punto crítico.Buscamos los puntos críticos igualando $f'(x)=0$ en cada tramo:Para $x < 1$: $2x - 1 = 0 \implies x = 1/2$. Este punto se encuentra en el intervalo.Para $x > 1$: $2x + 1 = 0 \implies x = -1/2$. Este punto no se encuentra en el intervalo $x > 1$, por lo que no es un punto crítico en esta rama.Los puntos a considerar para el estudio del signo de $f'(x)$ son $x = 1/2$ y $x = 1$. Dividimos la recta real en intervalos:1. Intervalo $(-\infty, 1/2)$ (usando $f'(x) = 2x - 1$): Tomamos $x=0$, $f'(0) = -1 < 0$. La función es decreciente.2. Intervalo $(1/2, 1)$ (usando $f'(x) = 2x - 1$): Tomamos $x=0.75$, $f'(0.75) = 2(0.75) - 1 = 1.5 - 1 = 0.5 > 0$. La función es creciente.3. Intervalo $(1, \infty)$ (usando $f'(x) = 2x + 1$): Tomamos $x=2$, $f'(2) = 2(2) + 1 = 5 > 0$. La función es creciente.Conclusión:La función $f(x)$ es decreciente en el intervalo $(-\infty, 1/2]$.La función $f(x)$ es creciente en el intervalo $[1/2, \infty)$.

Para calcular la integral, debemos dividirla en dos partes debido a la definición de $f(x)$ a trozos en $x=1$:

Calculamos la primera integral:

Calculamos la segunda integral:

Sumamos los resultados de ambas integrales: