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T2: Interacción electromagnética
Magnetismo
Teoría
2016 · Extraordinaria · Suplente
1B-a
Examen
a) Fuerza magnética sobre una carga en movimiento.
Fuerza de Lorentz
Fuerza magnética sobre una carga en movimiento
1. Concepto y expresión vectorial

Cuando una partícula de carga qq se mueve con velocidad v⃗\vec{v} en una región donde existe un campo magnético B⃗\vec{B}, experimenta una fuerza denominada fuerza de Lorentz (componente magnética):

F⃗=q (v⃗×B⃗)\vec{F} = q\,(\vec{v} \times \vec{B})

donde el producto vectorial v⃗×B⃗\vec{v} \times \vec{B} determina la dirección y sentido de la fuerza.

2. Módulo de la fuerza
F=∣q∣ v B sin⁡θF = |q|\,v\,B\,\sin\theta

siendo θ\theta el ángulo que forman los vectores v⃗\vec{v} y B⃗\vec{B}.Casos particulares:

Si v⃗∥B⃗\vec{v} \parallel \vec{B} → θ=0∘\theta = 0^\circ o θ=180∘\theta = 180^\circ → F=0F = 0 (la carga no siente fuerza magnética).Si v⃗⊥B⃗\vec{v} \perp \vec{B} → θ=90∘\theta = 90^\circ → F=∣q∣ v BF = |q|\,v\,B (fuerza máxima).
3. Dirección y sentido: Regla de la mano derecha

La dirección de F⃗\vec{F} es perpendicular al plano formado por v⃗\vec{v} y B⃗\vec{B}. El sentido se determina con la regla de la mano derecha aplicada a v⃗×B⃗\vec{v} \times \vec{B}, y luego se multiplica por el signo de qq:

Si q>0q > 0 (carga positiva): F⃗\vec{F} apunta en el sentido de v⃗×B⃗\vec{v} \times \vec{B}.Si q<0q < 0 (carga negativa): F⃗\vec{F} apunta en el sentido opuesto a v⃗×B⃗\vec{v} \times \vec{B}.
4. Unidades (S.I.)
[F] = \text{N} \qquad [q] = \text{C} \qquad [v] = \text{m/s} \qquad [B] = \text{T (tesla)}

Comprobación dimensional:

C⋅ms⋅T=C⋅ms⋅kgC⋅s=kg⋅ms2=N\text{C} \cdot \frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot \text{T} = \text{C} \cdot \frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot \frac{\text{kg}}{\text{C}\cdot\text{s}} = \frac{\text{kg}\cdot\text{m}}{\text{s}^2} = \text{N}
5. Propiedades fundamentales
La fuerza magnética es siempre perpendicular a la velocidad → no realiza trabajo sobre la carga (W=0W = 0).No modifica el módulo de la velocidad (energía cinética constante), solo cambia la dirección del movimiento.Si la velocidad es perpendicular a B⃗\vec{B}, la fuerza actúa como fuerza centrípeta y la carga describe una trayectoria circular uniforme.
6. Movimiento circular de una carga en campo magnético uniforme

Cuando v⃗⊥B⃗\vec{v} \perp \vec{B}, la fuerza magnética proporciona la fuerza centrípeta necesaria para el movimiento circular:

∣q∣ v B=m v2r⇒r=m v∣q∣ B|q|\,v\,B = \frac{m\,v^2}{r} \quad \Rightarrow \quad r = \frac{m\,v}{|q|\,B}

donde rr es el radio de la trayectoria circular, mm la masa de la partícula y vv la velocidad. Al radio rr se le denomina radio de Larmor o radio ciclotrónico.

7. Ejemplo ilustrativo

Un protón (q=+1,6×10−19q = +1{,}6 \times 10^{-19} C) se mueve con velocidad v⃗=v i^\vec{v} = v\,\hat{i} en presencia de un campo magnético B⃗=B k^\vec{B} = B\,\hat{k} (saliente). La fuerza que actúa sobre él es:

F⃗=q (v⃗×B⃗)=q (v i^×B k^)=qvB (i^×k^)=−qvB j^\vec{F} = q\,(\vec{v} \times \vec{B}) = q\,(v\,\hat{i} \times B\,\hat{k}) = qvB\,(\hat{i} \times \hat{k}) = -qvB\,\hat{j}

La fuerza apunta en la dirección −j^-\hat{j} (hacia abajo), perpendicular tanto a la velocidad como al campo.

B (saliente)⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙+vF