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T3: Geometría
Vectores
Problema
2024 · Extraordinaria · Reserva
8
Examen

Considera los vectores u⃗=(1,a,2)\vec{u} = (1, a, 2) y v⃗=(−2,1,a)\vec{v} = (-2, 1, a).

a) Calcula aa para que ambos vectores formen un ángulo de π/3\pi/3 radianes.b) Calcula aa para que el vector (u⃗×v⃗)−v⃗(\vec{u} \times \vec{v}) - \vec{v} sea ortogonal a u⃗\vec{u}.
VectoresProducto vectorialOrtogonalidad
a) Calcula aa para que ambos vectores formen un ángulo de π/3\pi/3 radianes.

Para que el ángulo entre los vectores u⃗\vec{u} y v⃗\vec{v} sea θ=π/3\theta = \pi/3, utilizamos la expresión del producto escalar:

\cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}

Primero, calculamos el producto escalar de los vectores u⃗=(1,a,2)\vec{u} = (1, a, 2) y v⃗=(−2,1,a)\vec{v} = (-2, 1, a):

\vec{u} \cdot \vec{v} = (1)(-2) + (a)(1) + (2)(a) = -2 + a + 2a = 3a - 2

A continuación, calculamos los módulos de ambos vectores:

∣u⃗∣=12+a2+22=a2+5|\vec{u}| = \sqrt{1^2 + a^2 + 2^2} = \sqrt{a^2 + 5}
∣v⃗∣=(−2)2+12+a2=a2+5|\vec{v}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + a^2} = \sqrt{a^2 + 5}

Sustituimos estos valores en la fórmula inicial, sabiendo que cos⁡(π/3)=1/2\cos(\pi/3) = 1/2:

12=3a−2a2+5⋅a2+5\frac{1}{2} = \frac{3a - 2}{\sqrt{a^2 + 5} \cdot \sqrt{a^2 + 5}}
12=3a−2a2+5\frac{1}{2} = \frac{3a - 2}{a^2 + 5}

Resolvemos la ecuación resultante multiplicando en cruz:

a2+5=2(3a−2)  ⟹  a2+5=6a−4a^2 + 5 = 2(3a - 2) \implies a^2 + 5 = 6a - 4
a2−6a+9=0a^2 - 6a + 9 = 0

Se trata de una identidad notable (a−3)2=0(a - 3)^2 = 0, por lo que la solución es:

a=3a = 3
b) Calcula aa para que el vector (u⃗×v⃗)−v⃗(\vec{u} \times \vec{v}) - \vec{v} sea ortogonal a u⃗\vec{u}.

Para que dos vectores sean ortogonales, su producto escalar debe ser igual a cero. Planteamos la condición de ortogonalidad:

((u⃗×v⃗)−v⃗)⋅u⃗=0((\vec{u} \times \vec{v}) - \vec{v}) \cdot \vec{u} = 0

Aplicamos la propiedad distributiva del producto escalar respecto a la resta de vectores:

(u⃗×v⃗)⋅u⃗−v⃗⋅u⃗=0(\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{u} - \vec{v} \cdot \vec{u} = 0

Por la definición de producto vectorial, el vector (u⃗×v⃗)(\vec{u} \times \vec{v}) es perpendicular tanto a u⃗\vec{u} como a v⃗\vec{v}, por lo tanto, (u⃗×v⃗)⋅u⃗=0(\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{u} = 0. La ecuación se simplifica a:

0−v⃗⋅u⃗=0  ⟹  u⃗⋅v⃗=00 - \vec{v} \cdot \vec{u} = 0 \implies \vec{u} \cdot \vec{v} = 0

Utilizando el producto escalar calculado en el apartado anterior:

3a−2=0  ⟹  3a=2  ⟹  a=233a - 2 = 0 \implies 3a = 2 \implies a = \frac{2}{3}