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T4: Funciones
Continuidad, derivabilidad e integración
Problema
2025 · Ordinaria · Reserva
4
Examen

Se considera la función

f(x)={10+5x2x≤−2x2+1−2<x<210−5x2x≥2f(x) = \begin{cases} 10 + \frac{5x}{2} & x \le -2 \\ x^2 + 1 & -2 < x < 2 \\ 10 - \frac{5x}{2} & x \ge 2 \end{cases}
a) Estudie la continuidad y derivabilidad de ff en el punto de abscisa x=−2x = -2.b) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función ff con pendiente −1-1.c) Represente la región del plano acotada superiormente por la gráfica de ff e inferiormente por el eje de abscisas. Calcule el área de dicha región.
Funciones a trozosContinuidadRecta tangente+1
a) Estudie la continuidad y derivabilidad de ff en el punto de abscisa x=−2x = -2.
Continuidad en $x = -2$

Para que f(x)f(x) sea continua en x=−2x = -2, se deben cumplir las siguientes condiciones:1. f(−2)f(-2) debe existir.

f(−2)=10+5(−2)2=10−5=5f(-2) = 10 + \frac{5(-2)}{2} = 10 - 5 = 5

2. Los límites laterales en x=−2x = -2 deben existir e ser iguales.

lim⁡x→−2−f(x)=lim⁡x→−2−(10+5x2)=10+5(−2)2=10−5=5\lim_{x \to -2^-} f(x) = \lim_{x \to -2^-} \left(10 + \frac{5x}{2}\right) = 10 + \frac{5(-2)}{2} = 10 - 5 = 5
lim⁡x→−2+f(x)=lim⁡x→−2+(x2+1)=(−2)2+1=4+1=5\lim_{x \to -2^+} f(x) = \lim_{x \to -2^+} (x^2 + 1) = (-2)^2 + 1 = 4 + 1 = 5

Dado que lim⁡x→−2−f(x)=lim⁡x→−2+f(x)=5\lim_{x \to -2^-} f(x) = \lim_{x \to -2^+} f(x) = 5, el límite de f(x)f(x) cuando x→−2x \to -2 existe y es 55.3. El valor de la función en el punto debe ser igual al límite.

f(−2)=5=lim⁡x→−2f(x)f(-2) = 5 = \lim_{x \to -2} f(x)

Por lo tanto, la función f(x)f(x) es continua en x=−2x = -2.

Derivabilidad en $x = -2$

Primero, calculamos la función derivada f′(x)f'(x) por tramos:

f′(x)={52x<−22x−2<x<2−52x>2f'(x) = \begin{cases} \frac{5}{2} & x < -2 \\ 2x & -2 < x < 2 \\ -\frac{5}{2} & x > 2 \end{cases}

Para que f(x)f(x) sea derivable en x=−2x = -2, las derivadas laterales deben ser iguales:

f′(−2−)=52f'(-2^-) = \frac{5}{2}
f′(−2+)=2(−2)=−4f'(-2^+) = 2(-2) = -4

Dado que f′(−2−)=52f'(-2^-) = \frac{5}{2} y f′(−2+)=−4f'(-2^+) = -4, las derivadas laterales no son iguales (rac52≠−4rac{5}{2} \ne -4). Por lo tanto, la función f(x)f(x) no es derivable en x=−2x = -2.

b) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función ff con pendiente −1-1.

La pendiente de la recta tangente es m=f′(x)=−1m = f'(x) = -1. Analizamos cada tramo de la función derivada:1. Para x<−2x < -2: f′(x)=52f'(x) = \frac{5}{2}. Como 52≠−1\frac{5}{2} \ne -1, no hay puntos de tangencia en este tramo.2. Para −2<x<2-2 < x < 2: f′(x)=2xf'(x) = 2x. Igualamos a −1-1:

2x=−1  ⟹  x=−122x = -1 \implies x = -\frac{1}{2}

Este valor de x=−12x = -\frac{1}{2} está en el intervalo (−2,2)(-2, 2), por lo que es un punto válido. Calculamos el valor de la función en este punto:

y=f(−12)=(−12)2+1=14+1=54y = f\left(-\frac{1}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 1 = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4}

El punto de tangencia es (−12,54)\left(-\frac{1}{2}, \frac{5}{4}\right). La ecuación de la recta tangente es y−y0=m(x−x0)y - y_0 = m(x - x_0):

y−54=−1(x−(−12))y - \frac{5}{4} = -1\left(x - \left(-\frac{1}{2}\right)\right)
y−54=−1(x+12)y - \frac{5}{4} = -1\left(x + \frac{1}{2}\right)
y−54=−x−12y - \frac{5}{4} = -x - \frac{1}{2}
y=−x−12+54y = -x - \frac{1}{2} + \frac{5}{4}
y=−x−24+54y = -x - \frac{2}{4} + \frac{5}{4}
y=−x+34y = -x + \frac{3}{4}

3. Para x>2x > 2: f′(x)=−52f'(x) = -\frac{5}{2}. Como −52≠−1-\frac{5}{2} \ne -1, no hay puntos de tangencia en este tramo.La ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función ff con pendiente −1-1 es y=−x+34y = -x + \frac{3}{4}.

c) Represente la región del plano acotada superiormente por la gráfica de ff e inferiormente por el eje de abscisas. Calcule el área de dicha región.
Representación de la región

Para representar la función, analizamos cada tramo y sus intersecciones con el eje X (es decir, cuando f(x)=0f(x)=0):1. Para x≤−2x \le -2: f(x)=10+5x2f(x) = 10 + \frac{5x}{2}. Es una recta. Intersección con el eje X:

10+5x2=0  ⟹  5x2=−10  ⟹  5x=−20  ⟹  x=−410 + \frac{5x}{2} = 0 \implies \frac{5x}{2} = -10 \implies 5x = -20 \implies x = -4

Puntos de interés: (−4,0)(-4, 0), y en x=−2x=-2, f(−2)=5f(-2)=5, por lo que (−2,5)(-2, 5).2. Para −2<x<2-2 < x < 2: f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1. Es una parábola con vértice en (0,1)(0,1). Intersección con el eje X:

x2+1=0  ⟹  x2=−1x^2 + 1 = 0 \implies x^2 = -1

No tiene soluciones reales, lo que significa que este tramo de la parábola está siempre por encima del eje X. Puntos de interés: en x=−2x=-2, f(−2)=5f(-2)=5; en x=2x=2, f(2)=5f(2)=5, por lo que (−2,5)(-2, 5), (0,1)(0,1) y (2,5)(2, 5).3. Para x≥2x \ge 2: f(x)=10−5x2f(x) = 10 - \frac{5x}{2}. Es una recta. Intersección con el eje X:

10−5x2=0  ⟹  5x2=10  ⟹  5x=20  ⟹  x=410 - \frac{5x}{2} = 0 \implies \frac{5x}{2} = 10 \implies 5x = 20 \implies x = 4

Puntos de interés: (4,0)(4, 0), y en x=2x=2, f(2)=5f(2)=5, por lo que (2,5)(2, 5).La región acotada se encuentra entre x=−4x=-4 y x=4x=4.

Cálculo del área

El área total AA se calcula como la suma de tres integrales definidas, correspondientes a cada tramo de la función:

A=∫−4−2(10+5x2)dx+∫−22(x2+1)dx+∫24(10−5x2)dxA = \int_{-4}^{-2} \left(10 + \frac{5x}{2}\right) dx + \int_{-2}^{2} (x^2 + 1) dx + \int_{2}^{4} \left(10 - \frac{5x}{2}\right) dx

Calculamos la primera integral:

∫−4−2(10+5x2)dx=[10x+5x24]−4−2\int_{-4}^{-2} \left(10 + \frac{5x}{2}\right) dx = \left[10x + \frac{5x^2}{4}\right]_{-4}^{-2}
=(10(−2)+5(−2)24)−(10(−4)+5(−4)24)= \left(10(-2) + \frac{5(-2)^2}{4}\right) - \left(10(-4) + \frac{5(-4)^2}{4}\right)
=(−20+204)−(−40+804)= \left(-20 + \frac{20}{4}\right) - \left(-40 + \frac{80}{4}\right)
=(−20+5)−(−40+20)=−15−(−20)=−15+20=5= (-20 + 5) - (-40 + 20) = -15 - (-20) = -15 + 20 = 5

Calculamos la segunda integral:

∫−22(x2+1)dx=[x33+x]−22\int_{-2}^{2} (x^2 + 1) dx = \left[\frac{x^3}{3} + x\right]_{-2}^{2}
=(233+2)−((−2)33+(−2))= \left(\frac{2^3}{3} + 2\right) - \left(\frac{(-2)^3}{3} + (-2)\right)
=(83+2)−(−83−2)= \left(\frac{8}{3} + 2\right) - \left(-\frac{8}{3} - 2\right)
=83+2+83+2=163+4=16+123=283= \frac{8}{3} + 2 + \frac{8}{3} + 2 = \frac{16}{3} + 4 = \frac{16 + 12}{3} = \frac{28}{3}

Calculamos la tercera integral:

∫24(10−5x2)dx=[10x−5x24]24\int_{2}^{4} \left(10 - \frac{5x}{2}\right) dx = \left[10x - \frac{5x^2}{4}\right]_{2}^{4}
=(10(4)−5(4)24)−(10(2)−5(2)24)= \left(10(4) - \frac{5(4)^2}{4}\right) - \left(10(2) - \frac{5(2)^2}{4}\right)
=(40−804)−(20−204)= \left(40 - \frac{80}{4}\right) - \left(20 - \frac{20}{4}\right)
=(40−20)−(20−5)=20−15=5= (40 - 20) - (20 - 5) = 20 - 15 = 5

Sumamos las áreas de los tres tramos:

A=5+283+5=10+283=303+283=583A = 5 + \frac{28}{3} + 5 = 10 + \frac{28}{3} = \frac{30}{3} + \frac{28}{3} = \frac{58}{3}

El área de la región es 583\frac{58}{3} unidades cuadradas.