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T4: Funciones
Análisis de funciones
Problema
2021 · Extraordinaria · Suplente
3
Examen
BLOQUE B

Se considera la función f(x)={(x+1)2si −2≤x<0(x−1)2si 0≤x≤2f(x) = \begin{cases} (x + 1)^2 & \text{si } -2 \le x < 0 \\ (x - 1)^2 & \text{si } 0 \le x \le 2 \end{cases}

a) Estudie la continuidad y derivabilidad de la función ff en todo su dominio.b) Calcule los extremos de la función ff.c) Represente el recinto que encierra la gráfica de ff, las rectas x=−1x = -1, x=1x = 1 y el eje OXOX. Calcule el área de dicho recinto.
ContinuidadDerivabilidadExtremos+1
Resolución del ejercicio de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II

La función dada es f(x)={(x+1)2si −2≤x<0(x−1)2si 0≤x≤2f(x) = \begin{cases} (x + 1)^2 & \text{si } -2 \le x < 0 \\ (x - 1)^2 & \text{si } 0 \le x \le 2 \end{cases}. El dominio de la función f(x)f(x) es el intervalo [−2,2][-2, 2].

a) Estudie la continuidad y derivabilidad de la función ff en todo su dominio.

Continuidad:En el intervalo abierto (−2,0)(-2, 0), f(x)=(x+1)2f(x) = (x+1)^2 es una función polinómica, por lo tanto, es continua en este intervalo.En el intervalo abierto (0,2)(0, 2), f(x)=(x−1)2f(x) = (x-1)^2 es una función polinómica, por lo tanto, es continua en este intervalo.Ahora, estudiamos la continuidad en el punto de unión x=0x=0:

f(0)=(0−1)2=1f(0) = (0-1)^2 = 1
lim⁡x→0−f(x)=lim⁡x→0−(x+1)2=(0+1)2=1\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (x+1)^2 = (0+1)^2 = 1
lim⁡x→0+f(x)=lim⁡x→0+(x−1)2=(0−1)2=1\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x-1)^2 = (0-1)^2 = 1

Como f(0)=lim⁡x→0−f(x)=lim⁡x→0+f(x)=1f(0) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = 1, la función f(x)f(x) es continua en x=0x=0. Por lo tanto, f(x)f(x) es continua en todo su dominio [−2,2][-2, 2].Derivabilidad:Calculamos las derivadas de cada trozo en los intervalos abiertos:

f′(x)={2(x+1)si −2<x<02(x−1)si 0<x<2f'(x) = \begin{cases} 2(x + 1) & \text{si } -2 < x < 0 \\ 2(x - 1) & \text{si } 0 < x < 2 \end{cases}

Ahora, estudiamos la derivabilidad en el punto de unión x=0x=0 calculando las derivadas laterales:

f′(0−)=lim⁡x→0−2(x+1)=2(0+1)=2f'(0^-) = \lim_{x \to 0^-} 2(x+1) = 2(0+1) = 2
f′(0+)=lim⁡x→0+2(x−1)=2(0−1)=−2f'(0^+) = \lim_{x \to 0^+} 2(x-1) = 2(0-1) = -2

Como f′(0−)≠f′(0+)f'(0^-) \ne f'(0^+) (2≠−22 \ne -2), la función f(x)f(x) no es derivable en x=0x=0.Por lo tanto, la función f(x)f(x) es derivable en (−2,0)∪(0,2)(-2, 0) \cup (0, 2).

b) Calcule los extremos de la función ff.

Para encontrar los extremos de la función, analizamos los puntos críticos (donde f′(x)=0f'(x)=0), los puntos donde la función no es derivable, y los extremos del dominio.1. Puntos críticos (donde f′(x)=0f'(x)=0):Para −2<x<0-2 < x < 0: 2(x+1)=0  ⟹  x=−12(x+1) = 0 \implies x=-1. El valor de la función en este punto es f(−1)=(−1+1)2=0f(-1) = (-1+1)^2 = 0.Para 0<x<20 < x < 2: 2(x−1)=0  ⟹  x=12(x-1) = 0 \implies x=1. El valor de la función en este punto es f(1)=(1−1)2=0f(1) = (1-1)^2 = 0.2. Puntos donde f(x)f(x) no es derivable:En x=0x=0, la función no es derivable. El valor de la función en este punto es f(0)=(0−1)2=1f(0) = (0-1)^2 = 1.3. Extremos del dominio:En x=−2x=-2: f(−2)=(−2+1)2=(−1)2=1f(-2) = (-2+1)^2 = (-1)^2 = 1.En x=2x=2: f(2)=(2−1)2=(1)2=1f(2) = (2-1)^2 = (1)^2 = 1.Resumiendo los valores de la función en los puntos relevantes:

f(−2)=1f(-2) = 1
f(−1)=0f(-1) = 0
f(0)=1f(0) = 1
f(1)=0f(1) = 0
f(2)=1f(2) = 1

Comparando estos valores, podemos determinar los extremos:Mínimos absolutos: f(−1)=0f(-1)=0 y f(1)=0f(1)=0. Son los valores más bajos que toma la función en su dominio.Máximos absolutos: f(−2)=1f(-2)=1, f(0)=1f(0)=1 y f(2)=1f(2)=1. Son los valores más altos que toma la función en su dominio.

c) Represente el recinto que encierra la gráfica de ff, las rectas x=−1x = -1, x=1x = 1 y el eje OXOX. Calcule el área de dicho recinto.

El recinto está limitado por la gráfica de f(x)f(x), las rectas verticales x=−1x=-1 y x=1x=1, y el eje OXOX (que es la recta y=0y=0). Como f(x)f(x) es siempre no negativa (al ser cuadrados, (x+1)2≥0(x+1)^2 \ge 0 y (x−1)2≥0(x-1)^2 \ge 0), el área se calcula directamente mediante la integral definida de f(x)f(x) en el intervalo [−1,1][-1, 1].Debido a la definición a trozos de f(x)f(x), dividimos la integral en dos partes:

Aˊrea=∫−11f(x)dx=∫−10(x+1)2dx+∫01(x−1)2dx\text{Área} = \int_{-1}^{1} f(x) dx = \int_{-1}^{0} (x+1)^2 dx + \int_{0}^{1} (x-1)^2 dx

Calculamos la primera integral:

∫−10(x+1)2dx=∫−10(x2+2x+1)dx=[x33+x2+x]−10\int_{-1}^{0} (x+1)^2 dx = \int_{-1}^{0} (x^2+2x+1) dx = \left[ \frac{x^3}{3} + x^2 + x \right]_{-1}^{0}
=(033+02+0)−((−1)33+(−1)2+(−1))= \left( \frac{0^3}{3} + 0^2 + 0 \right) - \left( \frac{(-1)^3}{3} + (-1)^2 + (-1) \right)
=0−(−13+1−1)=−(−13)=13= 0 - \left( -\frac{1}{3} + 1 - 1 \right) = - \left( -\frac{1}{3} \right) = \frac{1}{3}

Calculamos la segunda integral:

∫01(x−1)2dx=∫01(x2−2x+1)dx=[x33−x2+x]01\int_{0}^{1} (x-1)^2 dx = \int_{0}^{1} (x^2-2x+1) dx = \left[ \frac{x^3}{3} - x^2 + x \right]_{0}^{1}
=(133−12+1)−(033−02+0)= \left( \frac{1^3}{3} - 1^2 + 1 \right) - \left( \frac{0^3}{3} - 0^2 + 0 \right)
=(13−1+1)−0=13= \left( \frac{1}{3} - 1 + 1 \right) - 0 = \frac{1}{3}

Sumando ambas partes, obtenemos el área total del recinto:

Aˊrea=13+13=23 u2\text{Área} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \text{ u}^2