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T5: Integrales
Integrales indefinidas
Problema
2022 · Extraordinaria · Suplente
3
Examen

Calcula

∫2x3+2x2−2x+7x2+x−2dx\int \frac{2x^3 + 2x^2 - 2x + 7}{x^2 + x - 2} dx
Integración racionalPrimitiva

Para calcular la integral de una función racional en la que el grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador, primero realizamos la división polinómica.

1. División Polinómica

Dividimos el numerador P(x)=2x3+2x2−2x+7P(x) = 2x^3 + 2x^2 - 2x + 7 entre el denominador D(x)=x2+x−2D(x) = x^2 + x - 2.

2x\cline2−2x2+x−2∣2x3+2x2−2x+7−(2x3+2x2−4x)\cline2−22x+7\begin{array}{r} 2x \\ \cline{2-2} x^2+x-2 \Large| 2x^3 + 2x^2 - 2x + 7 \\ - (2x^3 + 2x^2 - 4x) \\ \cline{2-2} \rule{0pt}{1ex} \hspace{1cm} 2x + 7 \end{array}

El cociente es 2x2x y el resto es 2x+72x+7. Por lo tanto, la expresión se puede reescribir como:

2x3+2x2−2x+7x2+x−2=2x+2x+7x2+x−2\frac{2x^3 + 2x^2 - 2x + 7}{x^2 + x - 2} = 2x + \frac{2x + 7}{x^2 + x - 2}
2. Descomposición en Fracciones Simples

Ahora descomponemos la fracción restante en fracciones simples. Primero factorizamos el denominador:

x2+x−2=(x+2)(x−1)x^2 + x - 2 = (x+2)(x-1)

Planteamos la descomposición:

2x+7(x+2)(x−1)=Ax+2+Bx−1\frac{2x + 7}{(x+2)(x-1)} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x-1}

Multiplicando ambos lados por (x+2)(x−1)(x+2)(x-1):

2x+7=A(x−1)+B(x+2)2x + 7 = A(x-1) + B(x+2)

Para hallar AA y BB, sustituimos valores de xx:

Si x=1x=1:
2(1)+7=A(1−1)+B(1+2)9=3BB=32(1) + 7 = A(1-1) + B(1+2) \\ 9 = 3B \\ B = 3
Si x=−2x=-2:
2(−2)+7=A(−2−1)+B(−2+2)3=−3AA=−12(-2) + 7 = A(-2-1) + B(-2+2) \\ 3 = -3A \\ A = -1

Así, la fracción descompuesta es:

2x+7x2+x−2=−1x+2+3x−1\frac{2x + 7}{x^2 + x - 2} = \frac{-1}{x+2} + \frac{3}{x-1}
3. Integración

Finalmente, integramos la expresión original descompuesta:

∫2x3+2x2−2x+7x2+x−2dx=∫(2x−1x+2+3x−1)dx\int \frac{2x^3 + 2x^2 - 2x + 7}{x^2 + x - 2} dx = \int \left( 2x - \frac{1}{x+2} + \frac{3}{x-1} \right) dx

Cada término se integra por separado:

∫2x dx=x2\int 2x \, dx = x^2
∫−1x+2 dx=−ln⁡∣x+2∣\int -\frac{1}{x+2} \, dx = -\ln|x+2|
∫3x−1 dx=3ln⁡∣x−1∣\int \frac{3}{x-1} \, dx = 3\ln|x-1|

Sumando las integrales y añadiendo la constante de integración CC:

∫2x3+2x2−2x+7x2+x−2dx=x2−ln⁡∣x+2∣+3ln⁡∣x−1∣+C\int \frac{2x^3 + 2x^2 - 2x + 7}{x^2 + x - 2} dx = x^2 - \ln|x+2| + 3\ln|x-1| + C