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T6: Teoría de muestras
Intervalos de confianza y cálculo de probabilidades en la normal
Problema
2025 · Ordinaria · Titular
7
Examen

Los desajustes sobre el horario previsto de llegada de los trenes de alta velocidad, medidos en minutos, sigue una ley Normal con media 0 y desviación típica 2.2. a) Calcule el porcentaje de trenes que tienen un desajuste máximo de un minuto. b) Elegidos al azar 15 trenes de alta velocidad, los desajustes han sido: 0, 1.3, -2.1, -1.5, 2, 0.8, 5, 2.1, -3, 1.8, 3.1, 4, -0.7, 1.6, -5.4 b1) Calcule un intervalo de confianza, con un nivel de confianza del 96%, para la media poblacional. ¿Cuál es el error máximo que se comete en la estimación de esta media? Con este nivel de confianza y a partir de los datos obtenidos, ¿puede afirmarse que un tren tenga un retraso de 2 minutos? b2) Con un nivel de confianza del 98%, ¿cuántos trenes de alta velocidad deberían elegirse, como mínimo, para que la diferencia entre la media poblacional y su estimación muestral sea como máximo de 1.1 minutos?

Distribución NormalIntervalo de confianzaEstimación de la media+1

Definimos la variable aleatoria X como el desajuste horario en minutos de los trenes de alta velocidad. Según el enunciado, esta variable sigue una distribución Normal:

X∼N(0, 2.2)X \sim N(0, \, 2.2)

a) Para calcular el porcentaje de trenes con un desajuste máximo de un minuto, debemos hallar la probabilidad del intervalo central de un minuto respecto a la media. Es decir, calculamos la probabilidad de que el valor absoluto del desajuste sea menor o igual a 1, tipificando la variable para usar la tabla de la normal estándar Z:

P(∣X∣≤1)=P(−1≤X≤1)=P(−1−02.2≤Z≤1−02.2)=P(−0.45≤Z≤0.45)P(|X| \le 1) = P(-1 \le X \le 1) = P\left( \frac{-1 - 0}{2.2} \le Z \le \frac{1 - 0}{2.2} \right) = P(-0.45 \le Z \le 0.45)
P(Z≤0.45)−P(Z≤−0.45)=P(Z≤0.45)−(1−P(Z≤0.45))=2⋅P(Z≤0.45)−1P(Z \le 0.45) - P(Z \le -0.45) = P(Z \le 0.45) - (1 - P(Z \le 0.45)) = 2 \cdot P(Z \le 0.45) - 1

Buscando el valor en la tabla de la normal estándar para 0.45:

2⋅0.6736−1=1.3472−1=0.34722 \cdot 0.6736 - 1 = 1.3472 - 1 = 0.3472

El porcentaje de trenes con un desajuste máximo de un minuto es del 34.72%.b1) Primero, calculamos la media de la muestra de 15 trenes proporcionada:

xˉ=∑xin=0+1.3−2.1−1.5+2+0.8+5+2.1−3+1.8+3.1+4−0.7+1.6−5.415=915=0.6 min\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{0 + 1.3 - 2.1 - 1.5 + 2 + 0.8 + 5 + 2.1 - 3 + 1.8 + 3.1 + 4 - 0.7 + 1.6 - 5.4}{15} = \frac{9}{15} = 0.6 \text{ min}

Para un nivel de confianza del 96%, determinamos el valor crítico correspondiente:

1−α=0.96  ⟹  α=0.04  ⟹  α/2=0.021 - \alpha = 0.96 \implies \alpha = 0.04 \implies \alpha/2 = 0.02
P(Z≤zα/2)=1−0.02=0.98  ⟹  zα/2=2.05P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.02 = 0.98 \implies z_{\alpha/2} = 2.05

Calculamos el error máximo admitido para este intervalo:

E=zα/2⋅σn=2.05⋅2.215≈2.05⋅0.568=1.1644 minE = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2.05 \cdot \frac{2.2}{\sqrt{15}} \approx 2.05 \cdot 0.568 = 1.1644 \text{ min}

El intervalo de confianza se construye sumando y restando el error a la media muestral:

I.C.=(xˉ−E, xˉ+E)=(0.6−1.1644, 0.6+1.1644)=(−0.5644, 1.7644)I.C. = (\bar{x} - E, \, \bar{x} + E) = (0.6 - 1.1644, \, 0.6 + 1.1644) = (-0.5644, \, 1.7644)

El error máximo es de 1.1644 minutos. Dado que el valor de 2 minutos no se encuentra dentro del intervalo de confianza calculado, no se puede afirmar, con un nivel de confianza del 96%, que un tren tenga un retraso de 2 minutos.b2) Para calcular el tamaño mínimo de la muestra con un nivel de confianza del 98% y un error máximo de 1.1 minutos, buscamos el nuevo valor crítico:

1−α=0.98  ⟹  α=0.02  ⟹  α/2=0.011 - \alpha = 0.98 \implies \alpha = 0.02 \implies \alpha/2 = 0.01
P(Z≤zα/2)=1−0.01=0.99  ⟹  zα/2=2.33P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.01 = 0.99 \implies z_{\alpha/2} = 2.33

Utilizamos la fórmula del tamaño muestral despejando n de la fórmula del error:

n≥(zα/2⋅σE)2=(2.33⋅2.21.1)2n \ge \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2 = \left( \frac{2.33 \cdot 2.2}{1.1} \right)^2
n≥(2.33⋅2)2=(4.66)2=21.7156n \ge (2.33 \cdot 2)^2 = (4.66)^2 = 21.7156

Dado que el número de trenes debe ser un entero, redondeamos al alza. Se deberían elegir, como mínimo, 22 trenes.