El sistema de ecuaciones lineales es $AX=B$, que se representa mediante la matriz ampliada $(A|B)$:

Primero, calculamos el determinante de la matriz $A$ para determinar su rango:

Dado que $\det(A) = 0$, el rango de $A$ es menor que 3. Buscamos un menor de orden 2 no nulo:

Por lo tanto, el rango de la matriz $A$ es $\text{rg}(A) = 2$.Ahora, aplicamos el método de Gauss para estudiar el rango de la matriz ampliada $(A|B)$:

Discutimos el sistema utilizando el Teorema de Rouché-Frobenius:Caso 1: Si $-4a = 0$, es decir, si $a = 0$.En este caso, la última fila es de ceros. Entonces, $\text{rg}(A) = 2$ y $\text{rg}(A|B) = 2$.Como $\text{rg}(A) = \text{rg}(A|B) = 2 < 3$ (número de incógnitas), el sistema es compatible indeterminado (tiene infinitas soluciones).Caso 2: Si $-4a \neq 0$, es decir, si $a \neq 0$.En este caso, la última fila de la matriz ampliada es $(0 \ 0 \ 0 \ | \ -4a)$, donde $-4a \neq 0$. Por lo tanto, $\text{rg}(A|B) = 3$.Como $\text{rg}(A) = 2 \neq \text{rg}(A|B) = 3$, el sistema es incompatible (no tiene solución).

Para $a = 0$, el sistema escalonado obtenido en el apartado anterior es:

Esto se traduce en el siguiente sistema de ecuaciones:

De la segunda ecuación, obtenemos $y = 0$.Sustituimos $y = 0$ en la primera ecuación: $x + 0 + z = 0 \Rightarrow x + z = 0 \Rightarrow x = -z$.Sea $z = \lambda$, donde $\lambda \in \mathbb{R}$ es un parámetro. Entonces, la solución general es:

Ahora, buscamos una solución tal que $y + z = 4$. Sustituimos los valores de $y$ y $z$ de la solución general:

Sustituimos $\lambda = 4$ en la solución general para encontrar la solución particular:

La solución en la que $y+z=4$ es $x=-4$, $y=0$, $z=4$.