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T1: Matrices y determinantes
Matrices
Problema
2023 · Ordinaria · Suplente
2
Examen

a) Se considera la matriz

A=(1−100m−21m4)A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & m & -2 \\ 1 & m & 4 \end{pmatrix}
a1) Obtenga para qué valores de mm la matriz AA tiene inversa.a2) Calcule, en caso de existir, la inversa de AA para m=1m = 1.b) Despeje y simplifique XX en la ecuación X⋅B−B2+B=0X \cdot B - B^2 + B = 0, sabiendo que la matriz BB es invertible.
MatricesInversa de una matrizEcuaciones matriciales
a1) Obtenga para qué valores de mm la matriz AA tiene inversa.

Una matriz tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero. Calculamos el determinante de AA:

det⁡(A)=∣1−100m−21m4∣\det(A) = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & m & -2 \\ 1 & m & 4 \end{vmatrix}
det⁡(A)=1(m⋅4−(−2)⋅m)−(−1)(0⋅4−(−2)⋅1)+0(0⋅m−m⋅1)\det(A) = 1(m \cdot 4 - (-2) \cdot m) - (-1)(0 \cdot 4 - (-2) \cdot 1) + 0(0 \cdot m - m \cdot 1)
det⁡(A)=1(4m+2m)+1(0+2)+0\det(A) = 1(4m + 2m) + 1(0 + 2) + 0
det⁡(A)=6m+2\det(A) = 6m + 2

Para que la matriz AA tenga inversa, el determinante debe ser distinto de cero:

6m+2≠06m + 2 \neq 0
6m≠−26m \neq -2
m≠−26m \neq -\frac{2}{6}
m≠−13m \neq -\frac{1}{3}

La matriz AA tiene inversa para todos los valores de m∈Rm \in \mathbb{R} tales que m≠−13m \neq -\frac{1}{3}.

a2) Calcule, en caso de existir, la inversa de AA para m=1m = 1.

Dado que m=1≠−13m = 1 \neq -\frac{1}{3}, la inversa existe. Sustituimos m=1m = 1 en la matriz AA:

A=(1−1001−2114)A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 4 \end{pmatrix}

Calculamos el determinante para m=1m=1:

det⁡(A)=6(1)+2=8\det(A) = 6(1) + 2 = 8

Ahora calculamos la matriz de adjuntos C=(Aij)C = (A_{ij}):

A11=∣1−214∣=1⋅4−(−2)⋅1=4+2=6A_{11} = \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 - (-2) \cdot 1 = 4 + 2 = 6
A12=−∣0−214∣=−(0⋅4−(−2)⋅1)=−(0+2)=−2A_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & -2 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} = -(0 \cdot 4 - (-2) \cdot 1) = -(0 + 2) = -2
A13=∣0111∣=0⋅1−1⋅1=0−1=−1A_{13} = \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 0 \cdot 1 - 1 \cdot 1 = 0 - 1 = -1
A21=−∣−1014∣=−((−1)⋅4−0⋅1)=−(−4−0)=4A_{21} = -\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} = -((-1) \cdot 4 - 0 \cdot 1) = -(-4 - 0) = 4
A22=∣1014∣=1⋅4−0⋅1=4−0=4A_{22} = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 - 0 \cdot 1 = 4 - 0 = 4
A23=−∣1−111∣=−(1⋅1−(−1)⋅1)=−(1+1)=−2A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -(1 \cdot 1 - (-1) \cdot 1) = -(1 + 1) = -2
A31=∣−101−2∣=(−1)⋅(−2)−0⋅1=2−0=2A_{31} = \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = (-1) \cdot (-2) - 0 \cdot 1 = 2 - 0 = 2
A32=−∣100−2∣=−(1⋅(−2)−0⋅0)=−(−2−0)=2A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} = -(1 \cdot (-2) - 0 \cdot 0) = -(-2 - 0) = 2
A33=∣1−101∣=1⋅1−(−1)⋅0=1−0=1A_{33} = \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 - (-1) \cdot 0 = 1 - 0 = 1

La matriz de cofactores es:

C=(6−2−144−2221)C = \begin{pmatrix} 6 & -2 & -1 \\ 4 & 4 & -2 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix}

La matriz adjunta es la traspuesta de la matriz de cofactores:

Adj(A)=CT=(642−242−1−21)Adj(A) = C^T = \begin{pmatrix} 6 & 4 & 2 \\ -2 & 4 & 2 \\ -1 & -2 & 1 \end{pmatrix}

Finalmente, la inversa de AA es A−1=1det⁡(A)Adj(A)A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{Adj}(A):

A−1=18(642−242−1−21)A^{-1} = \frac{1}{8} \begin{pmatrix} 6 & 4 & 2 \\ -2 & 4 & 2 \\ -1 & -2 & 1 \end{pmatrix}
A−1=(6/84/82/8−2/84/82/8−1/8−2/81/8)A^{-1} = \begin{pmatrix} 6/8 & 4/8 & 2/8 \\ -2/8 & 4/8 & 2/8 \\ -1/8 & -2/8 & 1/8 \end{pmatrix}
A−1=(3/41/21/4−1/41/21/4−1/8−1/41/8)A^{-1} = \begin{pmatrix} 3/4 & 1/2 & 1/4 \\ -1/4 & 1/2 & 1/4 \\ -1/8 & -1/4 & 1/8 \end{pmatrix}
b) Despeje y simplifique XX en la ecuación X⋅B−B2+B=0X \cdot B - B^2 + B = 0, sabiendo que la matriz BB es invertible.

Partimos de la ecuación dada:

X⋅B−B2+B=0X \cdot B - B^2 + B = 0

Sumamos B2B^2 y restamos BB a ambos lados de la ecuación para aislar el término con XX:

X⋅B=B2−BX \cdot B = B^2 - B

Dado que la matriz BB es invertible, podemos multiplicar por su inversa B−1B^{-1} por la derecha en ambos lados de la ecuación. Es crucial mantener el orden de la multiplicación, ya que la multiplicación de matrices no es conmutativa:

(X⋅B)⋅B−1=(B2−B)⋅B−1(X \cdot B) \cdot B^{-1} = (B^2 - B) \cdot B^{-1}

Aplicamos la propiedad asociativa X⋅(B⋅B−1)X \cdot (B \cdot B^{-1}) a la izquierda y la propiedad distributiva B2⋅B−1−B⋅B−1B^2 \cdot B^{-1} - B \cdot B^{-1} a la derecha:

X⋅(B⋅B−1)=B2⋅B−1−B⋅B−1X \cdot (B \cdot B^{-1}) = B^2 \cdot B^{-1} - B \cdot B^{-1}

Sabiendo que B⋅B−1=IB \cdot B^{-1} = I (matriz identidad):

X⋅I=B2⋅B−1−IX \cdot I = B^2 \cdot B^{-1} - I

Como X⋅I=XX \cdot I = X y B2⋅B−1=B⋅(B⋅B−1)=B⋅I=BB^2 \cdot B^{-1} = B \cdot (B \cdot B^{-1}) = B \cdot I = B:

X=B−IX = B - I

La expresión simplificada para XX es X=B−IX = B - I, donde II es la matriz identidad del mismo orden que BB.