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T3: Geometría
Posición relativa de rectas
Problema
2025 · Extraordinaria · Titular
5
Examen
EJERCICIO 5.

Sean las rectas r≡x+14=y+23=z−2−1r \equiv \frac{x + 1}{4} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z - 2}{-1} y s≡{x=1−λy=2+λz=−3−2λs \equiv \begin{cases} x = 1 - \lambda \\ y = 2 + \lambda \\ z = -3 - 2\lambda \end{cases}.

a) Estudia la posición relativa de las rectas rr y ss.b) Halla la ecuación de un plano que contiene a rr y a una recta perpendicular a las rectas rr y ss.
RectasPosición relativaPlano
Extracción de datos de las rectas

A partir de las ecuaciones de las rectas, identificamos un punto y un vector director para cada una.Para la recta r≡x+14=y+23=z−2−1r \equiv \frac{x + 1}{4} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z - 2}{-1}:

Pr(−1,−2,2)yv⃗r=(4,3,−1)P_r(-1, -2, 2) \quad \text{y} \quad \vec{v}_r = (4, 3, -1)

Para la recta s≡{x=1−λy=2+λz=−3−2λs \equiv \begin{cases} x = 1 - \lambda \\ y = 2 + \lambda \\ z = -3 - 2\lambda \end{cases}:

Ps(1,2,−3)yv⃗s=(−1,1,−2)P_s(1, 2, -3) \quad \text{y} \quad \vec{v}_s = (-1, 1, -2)
a) Estudia la posición relativa de las rectas rr y ss.

Primero, comprobamos si los vectores directores son paralelos analizando su proporcionalidad:

4−1≠31≠−1−2\frac{4}{-1} \neq \frac{3}{1} \neq \frac{-1}{-2}

Como los vectores v⃗r\vec{v}_r y v⃗s\vec{v}_s no son proporcionales, las rectas no son paralelas ni coincidentes. Por tanto, o se cortan en un punto o se cruzan en el espacio.Para distinguirlo, calculamos el vector que une un punto de cada recta: PrPs⃗=(1−(−1),2−(−2),−3−2)=(2,4,−5)\vec{P_r P_s} = (1 - (-1), 2 - (-2), -3 - 2) = (2, 4, -5). Evaluamos el determinante de la matriz formada por los tres vectores:

det⁡(v⃗r,v⃗s,PrPs⃗)=∣43−1−11−224−5∣\det(\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{P_r P_s}) = \begin{vmatrix} 4 & 3 & -1 \\ -1 & 1 & -2 \\ 2 & 4 & -5 \end{vmatrix}
det⁡(v⃗r,v⃗s,PrPs⃗)=4(−5+8)−3(5+4)−1(−4−2)=12−27+6=−9\det(\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{P_r P_s}) = 4(-5 + 8) - 3(5 + 4) - 1(-4 - 2) = 12 - 27 + 6 = -9

Como el determinante es distinto de cero, los tres vectores son linealmente independientes, lo que implica que las rectas rr y ss se cruzan.

b) Halla la ecuación de un plano que contiene a rr y a una recta perpendicular a las rectas rr y ss.

El plano π\pi que buscamos debe contener a la recta rr y tener la dirección de la perpendicular común a rr y ss. Los vectores directores del plano serán el vector director de rr (v⃗r\vec{v}_r) y el vector producto vectorial w⃗=v⃗r×v⃗s\vec{w} = \vec{v}_r \times \vec{v}_s.Calculamos el vector perpendicular común w⃗\vec{w}:

w⃗=v⃗r×v⃗s=∣i⃗j⃗k⃗43−1−11−2∣=(−6+1)i⃗−(−8−1)j⃗+(4+3)k⃗=(−5,9,7)\vec{w} = \vec{v}_r \times \vec{v}_s = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 4 & 3 & -1 \\ -1 & 1 & -2 \end{vmatrix} = (-6 + 1)\vec{i} - (-8 - 1)\vec{j} + (4 + 3)\vec{k} = (-5, 9, 7)

El plano π\pi pasa por el punto Pr(−1,−2,2)P_r(-1, -2, 2) y tiene como vectores directores v⃗r(4,3,−1)\vec{v}_r(4, 3, -1) y w⃗(−5,9,7)\vec{w}(-5, 9, 7):

∣x+1y+2z−243−1−597∣=0\begin{vmatrix} x + 1 & y + 2 & z - 2 \\ 4 & 3 & -1 \\ -5 & 9 & 7 \end{vmatrix} = 0

Desarrollando el determinante por la primera fila:

(x+1)(21+9)−(y+2)(28−5)+(z−2)(36+15)=0(x + 1)(21 + 9) - (y + 2)(28 - 5) + (z - 2)(36 + 15) = 0
30(x+1)−23(y+2)+51(z−2)=030(x + 1) - 23(y + 2) + 51(z - 2) = 0
30x+30−23y−46+51z−102=030x + 30 - 23y - 46 + 51z - 102 = 0

La ecuación general del plano es:

π≡30x−23y+51z−118=0\pi \equiv 30x - 23y + 51z - 118 = 0