La ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función $f(x)$ en el punto de abscisa $x=a$ viene dada por $y - f(a) = f'(a)(x - a)$. En este caso, $a=0$, por lo que la ecuación es $y = f'(0)x + f(0)$.Para la función $f(x) = \frac{3x^2 + 5x - 2}{-3x + 7}$:Primero, calculamos $f(0)$:

Ahora, calculamos la derivada $f'(x)$ usando la regla del cociente $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

Ahora, evaluamos $f'(0)$:

Finalmente, la ecuación de la recta tangente es:

Para la función $g(x) = \ln\left(\frac{1}{3x + 1}\right)$:Podemos simplificar la función usando propiedades de logaritmos: $g(x) = \ln(1) - \ln(3x + 1) = 0 - \ln(3x + 1) = -\ln(3x + 1)$.Primero, calculamos $g(0)$:

Ahora, calculamos la derivada $g'(x)$:

Ahora, evaluamos $g'(0)$:

Finalmente, la ecuación de la recta tangente es:

Para la primera integral: $\int_{-2}^{-1} \frac{5}{3x^4} dx$ Reescribimos la expresión y calculamos la integral indefinida:

Ahora evaluamos la integral definida:

Para la segunda integral: $\int_{-3}^{0} \frac{e^{\frac{x}{3}}}{5} dx$ Reescribimos la expresión y calculamos la integral indefinida:

Para integrar $e^{kx}$, usamos $\int e^{kx} dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C$. Aquí $k = \frac{1}{3}$.

Ahora evaluamos la integral definida: