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T4: Funciones
Análisis de funciones
Problema
2024 · Extraordinaria · Suplente
1
Examen

Sea la función f:(0,+∞)→Rf : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, definida por f(x)=ln⁡(x2+1x)f(x) = \ln \left( \frac{x^2 + 1}{x} \right), donde logaritmo neperiano.

a) Calcula los intervalos de crecimiento y de decrecimiento.b) Estudia y halla los extremos relativos y absolutos de ff (abscisas donde se obtienen y valores que alcanzan).
MonotoníaExtremos relativosExtremos absolutos+1
Estudio de la función $f(x) = \ln \left( \frac{x^2 + 1}{x} \right)$
a) Calcula los intervalos de crecimiento y de decrecimiento.

Para facilitar la derivación, aplicamos las propiedades de los logaritmos a la función en su dominio (0,+∞)(0, +\infty):

f(x)=ln⁡(x2+1)−ln⁡(x)f(x) = \ln(x^2 + 1) - \ln(x)

Derivamos la función para obtener la pendiente de la recta tangente y determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento:

f′(x)=2xx2+1−1x=2x2−(x2+1)x(x2+1)=x2−1x(x2+1)f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} - \frac{1}{x} = \frac{2x^2 - (x^2 + 1)}{x(x^2 + 1)} = \frac{x^2 - 1}{x(x^2 + 1)}

Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos en el dominio (0,+∞)(0, +\infty):

x2−1=0  ⟹  x=1 (ya que x>0)x^2 - 1 = 0 \implies x = 1 \text{ (ya que } x > 0\text{)}

Analizamos el signo de la primera derivada en los intervalos determinados por el punto crítico:

En (0,1)(0, 1): f′(x)<0f'(x) < 0, por lo que la función es estrictamente decreciente.En (1,+∞)(1, +\infty): f′(x)>0f'(x) > 0, por lo que la función es estrictamente creciente.b) Estudia y halla los extremos relativos y absolutos de ff (abscisas donde se obtienen y valores que alcanzan).

Puesto que la función es continua en su dominio, decrece a la izquierda de x=1x = 1 y crece a su derecha, existe un mínimo relativo en dicho punto. Calculamos su valor:

f(1)=ln⁡(12+11)=ln⁡(2)f(1) = \ln \left( \frac{1^2 + 1}{1} \right) = \ln(2)

Para determinar los extremos absolutos, estudiamos el comportamiento de la función en los límites de su dominio:

lim⁡x→0+ln⁡(x2+1x)=ln⁡(10+)=ln⁡(+∞)=+∞\lim_{x \to 0^+} \ln \left( \frac{x^2 + 1}{x} \right) = \ln \left( \frac{1}{0^+} \right) = \ln(+\infty) = +\infty
lim⁡x→+∞ln⁡(x2+1x)=ln⁡(lim⁡x→+∞x2x)=ln⁡(+∞)=+∞\lim_{x \to +\infty} \ln \left( \frac{x^2 + 1}{x} \right) = \ln \left( \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{x} \right) = \ln(+\infty) = +\infty

Dado que la función tiende a +∞+\infty cuando xx se aproxima a cero por la derecha y cuando xx tiende a infinito, el mínimo relativo es también el mínimo absoluto de la función. No existen máximos absolutos.

Mínimo relativo y absoluto: Se alcanza en x=1x = 1 y su valor es f(1)=ln⁡(2)f(1) = \ln(2).Máximos relativos y absolutos: No existen.